Question

Решить задачу Коши. В ответ ввести значение в точке х1. y′+2y=3ex y(0)=1, x1=ln 2 . В ответ введите полученное целое число.

Answer 1

Ответ:

Разделив уравнение на x, получим уравнение: (1+2*y/x)*dx-dy=0, или 1+2*y/x=dy/dx, или y'=1+2*y/x. Положим теперь y/x=u, тогда y=u*x и y'=u'*x+u и уравнение приобретает вид u'*x+u=1+2*u, или u'*x=1+u, или du/(1+u)=dx/x. Интегрируя обе части, находим ln(1+u)=ln(x)+ln(C), или 1+u=C*x, где C>0 - произвольная положительная постоянная. Отсюда u=y/x=C*x-1 и y=C*x²-x. Используя теперь условие y(1)=0, находим C=1, и искомое частное решение имеет вид y=x²-x. Если же x0=1, то y(x0)=1²-1=0. Ответ: y=x²-x, y(x0)=0.

Answer 2

Для решения задачи Коши мы будем использовать метод вариации постоянной. Исходное дифференциальное уравнение имеет вид:

y' + 2y = 3e^x

Для начала решим соответствующее однородное уравнение:

y' + 2y = 0

Характеристическое уравнение для него:

r + 2 = 0

r = -2

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C * e^(-2x)

где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

y_p(x) = A * e^x

Подставим y_p(x) в исходное уравнение:

A * e^x + 2 * A * e^x = 3e^x

3A * e^x = 3e^x

A = 1

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y_p(x) = e^x

Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C * e^(-2x) + e^x

Теперь найдем значение постоянной C, используя начальное условие y(0) = 1:

1 = C * e^(-2 * 0) + e^0

1 = C + 1

C = 0

Итак, частное решение исходного уравнения имеет вид:

y(x) = e^x

Теперь найдем значение функции y(x) в точке x1 = ln2:

y(x1) = e^(ln2)

y(x1) = 2

Таким образом, значение функции y(x) в точке x1 = ln2 равно 2.

Ответ: 2