Question

Помогите посчитать интеграл arccos^2 (x) dx

Answer 1

Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

2

Answer 2

Конечно, я помогу вам интегрировать функцию $\arccos^2(x)$ по переменной $x$. Давайте начнем:

$$\begin{align*} \int \arccos^2(x) \, dx &= x \arccos^2(x) - \int x \cdot 2\arccos(x) \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \\ &= x \arccos^2(x) + 2\int \frac{x\arccos(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx. \end{align*}$$

Далее, чтобы решить второй интеграл, мы можем воспользоваться интегрированием по частям. Пусть $u = \arccos(x)$ и $dv = \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$, тогда $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ и $v = -\sqrt{1-x^2}$.

Применяя метод интегрирования по частям, получим:

$$\begin{align*} \int \frac{x\arccos(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx &= -x\sqrt{1-x^2}\arccos(x) - \int (-\sqrt{1-x^2}) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx \\ &= -x\sqrt{1-x^2}\arccos(x) + \int dx \\ &= -x\sqrt{1-x^2}\arccos(x) + x + C, \end{align*}$$

где $C$ - константа интегрирования.

Теперь мы можем вернуться к начальному интегралу:

$$\begin{align*} \int \arccos^2(x) \, dx &= x \arccos^2(x) + 2\left(-x\sqrt{1-x^2}\arccos(x) + x + C\right) \\ &= -2x\sqrt{1-x^2}\arccos(x) + 2x + C. \end{align*}$$

Итак, окончательный результат:

$$\int \arccos^2(x) \, dx = -2x\sqrt{1-x^2}\arccos(x) + 2x + C,$$

где $C$ - произвольная константа интегрирования.