Question

Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку f(x) =2x³+3x²-12x+7,x є[0;2]

Answer 1

найдем производную функции. она равна 6х²-12+6х=0

6(х²+х-2)=0

х=-2∉[0;2],х=1∈[0;2]

f(0)=7

f(1)=2+3-12+7=0-нименьшее значение

f(2)=16+12-24+7=11-наибольшее значение  на рассматриваемом отрезке

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції на заданому проміжку [0, 2] спочатку знайдемо похідну функції та визначимо її критичні точки, а потім проаналізуємо значення функції в цих точках та на кінцях проміжку.

1. Знайдемо похідну функції: f(x) = 2x³ + 3x² - 12x + 7

   f'(x) = d/dx [2x³ + 3x² - 12x + 7] = 6x² + 6x - 12

2. Знайдемо критичні точки, встановивши похідну дорівнювати нулю та розв'язавши рівняння: 6x² + 6x - 12 = 0

   Для спрощення можемо розділити обидві частини на 6: x² + x - 2 = 0

   Факторизуємо рівняння: (x + 2)(x - 1) = 0

   Отримали два значення x: -2 та 1.

3. Перевіримо значення функції в критичних точках та на кінцях проміжку [0, 2]: a. f(0) = 2(0)³ + 3(0)² - 12(0) + 7 = 7 b. f(2) = 2(2)³ + 3(2)² - 12(2) + 7 = 21

   Таким чином, ми маємо можливі значення функції: 7, 21.

4. Знаходимо значення функції в критичних точках: a. f(-2) = 2(-2)³ + 3(-2)² - 12(-2) + 7 = 21 b. f(1) = 2(1)³ + 3(1)² - 12(1) + 7 = 0

   Таким чином, ми маємо можливі значення функції: 0, 21.

Отже, найбільше значення функції на проміжку [0, 2] дорівнює 21, а найменше значення дорівнює 0.