Question

Найти общее решение дифференциального уравнения x^2dy-(yx-y^2)dx=0

Answer 1

$x^2y'-(yx-y^2)=0\\ x(-\dfrac{y'}{y^2})+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}\\ (x\cdot \dfrac{1}{y})'_x=\dfrac{1}{x}\\ x\cdot \dfrac{1}{y}=lnCx\\ y=\dfrac{x}{lnCx}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка можно воспользоваться методом разделяющихся переменных. Давайте начнем:

Уравнение: $x^2dy - (yx - y^2)dx = 0$

Для начала выразим уравнение в более удобной форме: $x^2dy = (yx - y^2)dx$

Теперь разделим обе части уравнения на $x^2$ и на $(yx - y^2)$: $\frac{dy}{yx - y^2} = \frac{dx}{x^2}$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{dy}{yx - y^2} = \int \frac{dx}{x^2}$

Левую часть можно проинтегрировать с помощью метода частных дробей:

$\int \frac{dy}{yx - y^2} = \int \left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x-y} \right) dy$

$\ln|y| - \ln|x-y| + C_1 = \int \frac{dx}{x^2}$

Интеграл справой стороны можно взять следующим образом:

$\ln|y| - \ln|x-y| + C_1 = -\frac{1}{x} + C_2$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь давайте избавимся от натуральных логарифмов, объединив их в один:

$\ln\left|\frac{y}{x-y}\right| = -\frac{1}{x} + C_3$

Где $C_3 = C_2 - C_1$ также является произвольной постоянной интегрирования.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

$\ln\left|\frac{y}{x-y}\right| = -\frac{1}{x} + C$

Где $C$ - произвольная постоянная.