Question

Помогите решить y"+4y=3e^2x

Answer 1

y+4y=3e^2x

5y=3e^x

y=3e^2x

5

y=3e^2x

5

x=R

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами можно решить методом вариации постоянных. Прежде чем начать, представим общее решение однородного уравнения:

y'' + 4y = 0.

Характеристическое уравнение: r^2 + 4 = 0. Корни: r = ±2i.

Общее решение однородного уравнения: y_h = c1cos(2x) + c2sin(2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь воспользуемся методом вариации постоянных, предполагая, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y_p = u(x)*cos(2x) + v(x)*sin(2x),

где u(x) и v(x) - функции, которые нужно найти.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

y_p'' + 4y_p = (u'' - 4u + 4v)cos(2x) + (v'' + 4v + 4u)sin(2x).

Теперь приравняем коэффициенты при cos(2x) и sin(2x) к соответствующим частям правой стороны исходного уравнения:

u'' - 4u + 4v = 0, v'' + 4v + 4u = 3e^(2x).

Решим первое уравнение относительно v(x): v = (u'' - 4u)/4.

Подставим это во второе уравнение: u'' - 4u + 4((u'' - 4u)/4) = 3e^(2x), u'' - 4u + u'' - 4u = 3e^(2x), 2u'' - 8u = 3e^(2x), u'' - 4u = (3/2)e^(2x).

Это неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения, предположим, что частное решение имеет вид u_p = A*e^(2x), где A - некоторая константа.

Подставим u_p в уравнение: (4A - 4A) - 4A = (3/2)e^(2x), 0 = (3/2)e^(2x), это невозможно.

Поэтому, чтобы найти частное решение, будем искать его в виде u_p = Bx*e^(2x).

Подставим u_p в уравнение: 2B - 4B = (3/2)e^(2x), -2B = (3/2)e^(2x), B = -(3/4)e^(-2x).

Теперь нашли u_p: u_p = -(3/4)x*e^(2x).

Используя полученное значение u_p, найдем v(x): v = (u'' - 4u)/4 v = (-3/4)e^(2x).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: y_p = -(3/4)x*e^(2x)*cos(2x) - (3/4)e^(2x)*sin(2x).

Итак, общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = c1cos(2x) + c2sin(2x) - (3/4)x*e^(2x)*cos(2x) - (3/4)e^(2x)*sin(2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Это и есть решение задачи.