Question

Докажите, что верно равенство (a+c) (а — с) — b (2а — b) — (а — b+c) (а — b — c)=0.

Answer 1

(a+c)(а-с)-b(2а-b)-(а-b+c)(а-b-c)=0

a²-c²-2ab+b²-(a²-ab-ac-ab+b²+cb+ac-cb-c²)=0

Раскрываем скобки, меняя знаки на противоположные, т.к. перед ней стоит минус.

a²-c²-2ab+b²-a²+ab+ac+ab-b²-cb-ac+cb+c²=0

Приводим подобные, а²и -а² уходят, -с² и с² уходят, -2аb в сумме с ab и ab уходят, b²и -b² уходят, ас и -ac также уходят, -cb и cb уходят, остаётся 0=0.

Ответ: тождество.

Answer 2

Давайте раскроем скобки и упростим выражение:

(a+c)(a - c) - b(2a - b) - (a - b+c)(a - b - c)

Первое слагаемое: (a+c)(a - c) = a(a - c) + c(a - c) = a^2 - ac + ac - c^2 = a^2 - c^2

Второе слагаемое: -b(2a - b) = -2ab + b^2

Третье слагаемое: (a - b+c)(a - b - c) = a(a - b - c) - b(a - b - c) + c(a - b - c) = a^2 - ab - ac - ab + b^2 + bc - ac + bc - c^2 = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 + 2bc

Теперь объединим все слагаемые: (a+c)(a - c) - b(2a - b) - (a - b+c)(a - b - c) = (a^2 - c^2) - (-2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2 - c^2 + 2bc) = a^2 - c^2 + 2ab - b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 - 2bc = 4ab - 2b^2 - 2bc

Заметим, что все слагаемые в этой сумме содержат множитель 2. Мы можем вынести 2 за скобку:

4ab - 2b^2 - 2bc = 2(2ab - b^2 - bc)

Теперь мы видим, что выражение в скобках является разностью квадратов: 2(2ab - b^2 - bc) = 2((a - b)^2 - bc)

Теперь мы можем записать исходное выражение как:

(a+c)(a - c) - b(2a - b) - (a - b+c)(a - b - c) = 2((a - b)^2 - bc)

Из этого равенства следует, что если (a - b)^2 - bc = 0, то исходное выражение равно 0.

Таким образом, чтобы доказать равенство (a+c)(a - c) - b(2a - b) - (a - b+c)(a - b - c) = 0, необходимо и достаточно доказать, что (a - b)^2 - bc = 0.