Question

Решить систему уравнений тремя способами: х-у=3 2у-х=6

Answer 1

$\left \{ {{x-y=3} \atop {2y-x=6}} \right.$

$\left \{ {{x=3+y} \atop {2y=6+x}} \right. \\2y=6+3+y\\y=9\\x=3+9\\x=12$

Ответ: x=12; y=9

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений тремя разными способами: методом подстановки, методом сложения/вычитания и методом матриц.

Система уравнений:

1. $x - y = 3$
2. $2y - x = 6$

Метод 1: Подстановка

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = y + 3$

Подставим это выражение во второе уравнение: $2y - (y + 3) = 6$

Решим это уравнение относительно $y$: $2y - y - 3 = 6$ $y - 3 = 6$ $y = 9$

Теперь подставим найденное значение $y$ обратно в первое уравнение: $x = 9 + 3$ $x = 12$

Итак, решение: $x = 12$, $y = 9$.

Метод 2: Сложение/Вычитание

Сложим оба уравнения так, чтобы избавиться от переменной $x$:

$$\begin{align*} (x - y) + (2y - x) &= 3 + 6 \\ y &= 9 \end{align*}$$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение: $x - 9 = 3$ $x = 3 + 9$ $x = 12$

Итак, решение: $x = 12$, $y = 9$.

Метод 3: Матричный метод

Запишем систему уравнений в матричной форме $Ax = B$, где

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix}.$$

Обратим матрицу $A$:

$$A^{-1} = \frac{1}{(1)(2) - (-1)(-1)} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \\ \end{bmatrix}.$$

Теперь найдем $x$ используя формулу $x = A^{-1}B$:

$$x = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 9 \\ \end{bmatrix}.$$

Итак, решение: $x = 12$, $y = 9$.

Все три метода дали одинаковый результат: $x = 12$, $y = 9$.