Question

Вывести формулу тангенса разности углов (α-β) через котангенс α и котангенс β. Подробно.

Answer 1

Ответ:

a-b=a*b:c=c-a+b=a-b

Answer 2

Для вывода формулы тангенса разности углов через котангенсы, мы можем воспользоваться определением тангенса и котангенса:

Тангенс угла α определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника с углом α.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Котангенс угла α определяется как отношение прилежащего катета к противолежащему катету в том же прямоугольном треугольнике.

$\cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$

Мы хотим выразить тангенс разности углов (α-β) через котангенсы α и β. То есть, нам нужно найти такое выражение, которое содержит котангенс α и котангенс β.

Давайте предположим, что у нас есть два угла α и β. Мы можем записать следующее уравнение:

$\alpha - \beta = \alpha - (\alpha - (\alpha - \beta))$

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу для разности углов:

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \cdot \tan(\beta)}$

Теперь мы можем заменить тангенсы α и β через их котангенсы:

$\tan(\alpha) = \frac{1}{\cot(\alpha)}$ $\tan(\beta) = \frac{1}{\cot(\beta)}$

Подставляя это в формулу для разности тангенсов:

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{\cot(\alpha)} - \frac{1}{\cot(\beta)}}{1 + \frac{1}{\cot(\alpha)} \cdot \frac{1}{\cot(\beta)}}$

Мы можем упростить дроби, перемножив обе части на $\cot(\alpha) \cdot \cot(\beta)$:

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\cot(\beta) - \cot(\alpha)}{\cot(\alpha) \cdot \cot(\beta) + 1}$

И вот мы получили выражение для тангенса разности углов через котангенсы:

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\cot(\beta) - \cot(\alpha)}{1 + \cot(\alpha) \cdot \cot(\beta)}$

Это и есть искомая формула.