Question

Девяти детям дали по три кубика, каждый из которых покрашен в красный или синий цвет. Каждый малыш построил из трёх своих кубиков башню. Докажите, что среди этих башен есть две одинаково покрашенные. Б) Пусть детям дали по пять кубиков. Сколько, самое меньшее, должно быть детей, чтобы утверждение задачи А) осталось верным.

Answer 1

Ответ:

Б) 33

Пошаговое объяснение:

Каждый кубик может быть покрашен 2-мя способами, тогда по правилу умножения у набора из 3-х упорядоченных кубиков возможно 2×2×2=8 вариантов раскраски. Но детей на 1 больше, тогда по правилу Дирихле хотя бы у двух из них башни одинаковые.

В случае с 5-ю кубиками существует 2⁵=32 различных башни, тогда детей должно быть минимум 32+1=33.

Answer 2

А) Доказательство по принципу Дирихле:

Предположим, что все башни построены из разноцветных кубиков. В каждой башне максимальное количество комбинаций цветов кубиков равно 2 * 2 * 2 = 8 (так как каждый кубик может быть красным или синим). Если у нас есть 9 башен, то всего возможных комбинаций цветов должно быть не менее 9 * 8 = 72.

Однако у нас всего 2 * 2 * 2 = 8 различных комбинаций цветов кубиков. По принципу Дирихле, если нужно разместить 72 объекта в 8 ящиках, то хотя бы в одном из ящиков должно быть не менее 73 / 8 = 9 объектов. Это противоречит нашему предположению, что все башни построены из разноцветных кубиков. Следовательно, среди данных башен должны быть две одинаково покрашенные.

Б) В данном случае нам нужно определить минимальное количество детей, чтобы гарантированно были две одинаково покрашенные башни при наличии пяти кубиков у каждого ребенка.

По аналогии с предыдущим рассуждением, максимальное количество различных комбинаций цветов кубиков в одной башне равно 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32. Если у нас есть N детей, то всего возможных комбинаций цветов будет не менее N * 32.

Чтобы гарантированно было две одинаково покрашенные башни, количество возможных комбинаций должно быть меньше или равно количеству детей. Поэтому мы можем записать неравенство:

N * 32 <= N

Разделив обе части неравенства на N и учитывая, что N должно быть целым числом больше нуля, получим:

32 <= 1

Очевидно, это неравенство неверно. Следовательно, нет такого минимального значения N, при котором утверждение задачи А) остается верным при пяти кубиках для каждого ребенка.