Question

Площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см , а его образующая в три раза меньше диаметра основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Answer 1

Давайте обозначим диаметр основания цилиндра как $d$, тогда его образующая будет $3d$, так как образующая в три раза меньше диаметра основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле $S_{\text{бок}} = 2\pi r h$, где $r$ - радиус основания, а $h$ - высота цилиндра.

Диаметр и радиус связаны следующим образом: $d = 2r$.

Также, используя теорему Пифагора в треугольнике с образующей $3d$, радиусом $r$ и половиной высоты $h$, получим:

$(3d)^2 = r^2 + h^2$

Теперь мы можем решить систему уравнений:

1. $d = 2r$
2. $9d^2 = r^2 + h^2$
3. $S_{\text{осн}} = \pi r^2 = 108$ (площадь осевого сечения)

Из уравнения 3 найдем $r^2 = \frac{108}{\pi}$, затем подставим это значение в уравнение 2:

$9d^2 = \frac{108}{\pi} + h^2$

Так как $d = 2r$, то $d^2 = 4r^2$, подставим это в уравнение 2:

$9(4r^2) = \frac{108}{\pi} + h^2$

$36r^2 = \frac{108}{\pi} + h^2$

Теперь выразим $h^2$:

$h^2 = 36r^2 - \frac{108}{\pi}$

И, наконец, подставим $h^2$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{\text{бок}} = 2\pi r \sqrt{36r^2 - \frac{108}{\pi}}$

Таким образом, выразили площадь боковой поверхности через радиус $r$. Теперь можем вычислить численное значение данного выражения, зная значение $r^2$, которое мы нашли из площади осевого сечения.