Question

Высота, проведенная в ромбе из вершине тупого угла, образует со стороной ромба угол в 30°. Вычислите периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 6,3.

Answer 1

Высота ВН образовывает прямоугольный треугольник АВН в котором один из острых углов, по условию, равен 300.

Тогда угол ВАН = ВАД = (180 – 90 – 30) = 600.

В треугольнике АВД сторона АВ = АД, так как у ромба все стороны равны, тогда треугольник АВД равносторонний, АВ = АД = ВД = 5,2 см.

Определим периметр ромба.

Равсд = 4 * АВ = 4 * 5,2 = 20,8 см.

Ответ: Периметр ромба равен 20,5 см.

Answer 2

Пусть $ABCD$ - это ромб, где $AB = BC = CD = AD$, и $\angle A$ - тупой угол. Пусть также $AC$ - высота, проведенная из вершины $A$, и $AC$ пересекает $BD$ в точке $E$.

Так как $\angle CAE = 30°$ и $\angle CAD = 90°$ (поскольку $AC$ - высота), то $\angle DAE = 90° - 30° = 60°$. Таким образом, треугольник $ADE$ - это равносторонний треугольник, так как в нем два угла равны 60°.

Пусть $DE = x$. Тогда $AE = AD - DE = AD - x$. Но так как треугольник $ADE$ равносторонний, $AD = AE = AD - x$, откуда $x = 0$. Это означает, что точка $E$ совпадает с вершиной $D$.

Теперь у нас есть ромб $ABCD$ с известной меньшей диагональю $BD = 6.3$.

Пусть $O$ - центр ромба, $M$ - середина $BD$, $N$ - середина $AC$. Так как $AC$ - высота, то $AC \perp BD$, и следовательно, $AN \perp BD$. Так как $AN$ - медиана, то точка $N$ также является центром масс для треугольника $ACD$, и следовательно, она совпадает с точкой $O$.

Таким образом, $NO$ - медиана и высота для треугольника $ACD$, и она разбивает $ACD$ на два равнобедренных треугольника $ANO$ и $DNO$. Это означает, что $\angle AND = \angle DNO = 15°$, и $\angle AOD = 30°$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $ABD$. У нас есть $\angle ABD = 30°$ и $\angle AND = 15°$. Суммируя углы треугольника, получаем: $30° + 15° + \angle BAD = 180°$, откуда $\angle BAD = 135°$.

Таким образом, мы нашли все углы ромба $ABCD$: $\angle BAD = 135°$, $\angle BCD = 180° - 135° = 45°$. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, то $\angle ABO = 90°$ и $\angle CBO = 90°$.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $ABO$. Мы знаем, что $AO = \frac{BD}{2} = \frac{6.3}{2} = 3.15$, и $\angle ABO = 90°$. Таким образом, используя тригонометрию, можно найти $AB$:

$$\sin(\angle ABO) = \frac{AO}{AB}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3.15}{AB}$$

$$AB = \frac{3.15}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 3.15 \cdot \sqrt{2} = 4.45$$

Так как $AB = BC = CD = AD$, периметр ромба равен $4 \cdot AB = 4 \cdot 4.45 = 17.8$.

Итак, периметр ромба составляет $17.8$.