Question

2*х^3*у'=у*(2*x^2-у^2) решить дифференциальное уравнение

Answer 1

$2x^{3}y' = y(2x^{2} - y^{2})$

$y' = \dfrac{y(2x^{2} - y^{2})}{2x^{3}}$

$y' = \dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}$

Пусть $f(x,y) = \dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}$

Сделаем проверку:

$f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{2(\lambda x)^{2}\lambda y - (\lambda y)^{3}}{2(\lambda x)^{3}} = \dfrac{\lambda ^{3} (2x^{2}y - y^{3})}{2\lambda ^{3}x^{3}} =\dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}} = f(x,y)$

Таким образом, $f(\lambda x,\lambda y) = \lambda ^{0}f(x,y)$ — имеем однородную функцию нулевого измерения.

Сделаем замену: $y = u \cdot x,$ где $u = u(x)$. Тогда $y' = u'x + u$

Имеем:

$u'x + u = \dfrac{2x^{2}ux - (ux)^{3}}{2x^{3}}$

$u'x + u = \dfrac{2x^{3}u - u^{3}x^{3}}{2x^{3}}$

$u'x + u = \dfrac{x^{3}(2u - u^{3})}{2x^{3}}$

$u'x = \dfrac{2u - u^{3}}{2} - u$

$x \cdot \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{u^{3}}{2}$

$\dfrac{du}{u^{3}} = - \dfrac{dx}{2x}$

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u^{3}} = - \int \dfrac{dx}{2x}$

$-\dfrac{1}{2u^{2}} = -\dfrac{1}{2}\ln |x| + C \ \ \ | \cdot (-2)$

$\dfrac{1}{u^{2}} = \ln |x| + \ln|C_{1}|$

$\dfrac{1}{u^{2}} = \ln |C_{1}x|$

$u^{2} = \dfrac{1}{\ln|C_{1}x|}$

$u = \pm\dfrac{1}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =\pm\dfrac{1}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }$

$y =\pm\dfrac{x}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }$

Ответ: $y =\pm\dfrac{x}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение: решение в файле

Answer 3

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в частных производных и содержит как функции x, так и y. Оно выглядит следующим образом:

$2x^3 \frac{dy}{dx} = y(2x^2 - y^2).$

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом разделяющихся переменных. Начнем с разделения переменных, перемещая все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения:

$2x^3 \frac{dy}{dx} = 2x^2y - y^3.$

Далее, разделим обе стороны на $2x^3y$ для изоляции производной y:

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2y - y^3}{2x^3y}.$

Теперь можно провести деление как дроби и упростить выражение:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{y^2}{2x^3}.$

Теперь у нас есть уравнение, разделенное на переменные. Мы можем решить его методом разделения переменных:

$\frac{dy}{\frac{1}{x} - \frac{y^2}{2x^3}} = dx.$

Для интегрирования левой стороны давайте воспользуемся методом частных дробей:

$\int \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{y^2}{2x^3}} dy = \int dx.$

Разложим дробь на простые части:

$\int \frac{2x^3}{x^2 - \frac{y^2}{2}} dy = \int dx.$

Сделаем замену переменных: $u = x^2 - \frac{y^2}{2}$, тогда $du = (2x) dx$. Заменяя переменные в интеграле:

$\int \frac{1}{2} du = \int dx.$

Интегрируем обе стороны:

$\frac{u}{2} = x + C,$

где C - произвольная постоянная интегрирования. Подставляя обратно выражение для $u$:

$\frac{x^2 - \frac{y^2}{2}}{2} = x + C.$

Далее можно решить это уравнение относительно y:

$x^2 - \frac{y^2}{2} = 2x + 2C,$

$-\frac{y^2}{2} = x^2 - 2x - 2C,$

$y^2 = -2x^2 + 4x + 4C,$

$y = \pm \sqrt{-2x^2 + 4x + 4C}.$

Это общее решение данного дифференциального уравнения.