Question

На доску выписаны 2020 чисел. Оказалось, что сумма любых трёх выписанных чисел также является выписанным числом. Какое наименьшее количество нулей может быть среди выписанных чисел?

Answer 1

Пример из 2018 нулей и чисел 1, –1 удовлетворяет условию.

 Предположим, что количество нулей не больше 2017. Тогда на доске найдутся либо три неотрицательных числа, среди которых хотя бы два строго положительных, либо три неположительных числа, среди которых хотя бы два строго отрицательны. Пусть выполнено первое: числа a и b положительны, а c неотрицательно. Можно считать, что a – наибольшее из всех выписанных чисел. Но тогда число  a + b + c > a  не может быть выписанным. Противоречие.

Ответ

2018 нулей.

P.S-как я понел

Answer 2

Пусть у нас есть x ненулевых чисел среди 2020 выписанных чисел. Если мы выберем любые три из этих чисел и сложим их, согласно условию, мы получим еще одно выписанное число. Таким образом, для любых трех ненулевых чисел сумма будет ненулевой.

Теперь давайте рассмотрим, как можно выбрать нули так, чтобы выполнялось условие задачи. Для этого нам нужно, чтобы любая сумма из трех чисел была также выписанным числом. Рассмотрим возможные комбинации сумм:

1. 0 + 0 + 0 = 0 (выполняется)
2. 0 + 0 + не нуль = не нуль (выполняется)
3. не нуль + не нуль + не нуль = не нуль (выполняется)

Из этого следует, что можно иметь хотя бы 3 нуля среди 2020 чисел.

Таким образом, наименьшее количество нулей, которое может быть среди выписанных чисел, равно 3.