Question

В турнире по теннису участвовало 10 теннисистов, каждый сыграл с каждым по одному разу, ничьих не бывает. У всех теннисистов разные рейтинги. Известно, что теннисист с наименьшим рейтингом выиграл у теннисиста с наибольшим, а во всех остальных встречах победил теннисист с более высоким рейтингом. Сколькими способами можно выстроить 10 теннисистов ряд так, чтобы каждый выиграл у своего правого соседа (кроме крайнего, у кого правго соседа нет)?

Answer 1

Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

Всего было n * (n - 1) / 2 игр между профессионалами (в каждой такой игре победил профессионал), 2n * (2n - 1)/2 игр между любителями (соответственно, в таких играх побеждали любители) и n * 2n = 2n^2 игр, в которых приняли участие профессионал и любитель (допустим, в x из них победил профессионал, и в 2n^2 - x победил любитель).

Оценим возможное отношение числа побед профессионалов к числу побед любителей, оно равно

[*}

Это отношение будет наименьшим при x = 0, когда все любители обыграли всех профессионалов, тогда оно равно (n - 1)/(8n - 2).

Это отношение будет наибольшим при x = 2n^2 (это соответствует всем поражениям любителей в матчах с профессионалами), значение отношения (5n - 1)/(4n - 2).

Найдем, при каких n 7/5 попадает в этот промежуток:

Итак, все возможные n - 1, 2 и 3. Заметим, что общее количество игр 3n (3n - 1)/2 должно быть кратно 7 + 5 = 12, это выполнено только для n = 3.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. У нас есть 10 теннисистов, и каждый должен выиграть у своего правого соседа. Для начала, давайте рассмотрим теннисиста с наименьшим рейтингом, который выиграл у теннисиста с наибольшим рейтингом. Этот теннисист будет стоять на одном из крайних мест.

После этого мы имеем оставшихся 8 теннисистов. Каждый из них должен выиграть у своего правого соседа. Мы можем начать со второго по рейтингу теннисиста и продолжить по возрастанию рейтингов. Так как ничьих нет и каждый выигрывает у своего правого соседа, то у нас есть только один способ расположить оставшихся 8 теннисистов, чтобы они выиграли свои матчи.

Итак, у нас есть 2 части: первый теннисист, который выиграл у теннисиста с наибольшим рейтингом (1 способ), и оставшиеся 8 теннисистов, которые стоят в определенном порядке (1 способ).

Итоговое количество способов = 1 (первый теннисист) * 1 (оставшиеся 8 теннисистов) = 1 способ.

Таким образом, есть всего 1 способ выстроить 10 теннисистов в ряд так, чтобы каждый выиграл у своего правого соседа.