Question

Для каждого значения параметра a найдите область определения функции y=log2(ax+2)

Answer 1

По определению логарифма

ах + 2 > 0.

При а = 0 имеем 2>0. Следовательно х может принимать любое значение.

При а = 0 D(y) = R.

При а>0 получаем

$ax+2>0\\ ax>-2\\ x>-\frac{2}{a}$

При а>0  $D(y)=(-\frac{2}{a}; +\infty)$.

При а<0 получаем

$ax+2>0\\ ax>-2\\ x$

При а<0  $D(y)=(-\infty;-\frac{2}{a})$.

Answer 2

Функция $y = \log_2(ax + 2)$ будет определена, если выражение $ax + 2$ в аргументе логарифма больше нуля, так как логарифм отрицательных и нулевых чисел не определён в вещественных числах.

Итак, чтобы найти область определения функции, нужно решить неравенство:

$ax + 2 > 0$

Для разных значений параметра $a$ можно получить различные области определения:

1. Если $a > 0$, то неравенство $ax + 2 > 0$ выполняется для любых значений $x$, так как при положительных $a$ и любых $x$ результат $ax$ также будет положительным, и прибавление положительной константы (2) не изменит знак.

2. Если $a = 0$, то функция $y = \log_2(2)$ определена только в точке $x = 0$, так как при $a = 0$ у нас остаётся только константа 2, и область определения ограничивается точкой, где аргумент равен 0.

3. Если $a < 0$, то неравенство $ax + 2 > 0$ будет выполняться только при $x > -\frac{2}{a}$, так как отрицательное $a$ умноженное на отрицательное $x$ даёт положительный результат, и добавление положительной константы (2) также не изменяет знак.

Итак, область определения функции $y = \log_2(ax + 2)$ зависит от значения параметра $a$:

1. Если $a > 0$, то область определения: $-\infty < x < +\infty$.
2. Если $a = 0$, то область определения: $x = 0$.
3. Если $a < 0$, то область определения: $-\frac{2}{a} < x < +\infty$.