Question

Решите уравнение sin^2 x+2sin 4x=-cos^2x

Answer 1

Ответ:

$x=-\pi /24+\pi k/12\\x=-5\pi /24+\pi k/12$

k - целое

Пошаговое объяснение:

$sin^2x+2sin4x=-cos^2x\\sin^2x+cos^2x+2sin4x=0\\1+2sin4x=0\\2sin4x=-1\\sin4x = -1/2\\4x=-\pi/6 +2\pi k\\4x=-5\pi/6 +2\pi k\\x=-\pi /24+\pi k/12\\x=-5\pi /24+\pi k/12$

k - целое

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его:

$\sin^2 x + 2 \sin 4x = -\cos^2 x$.

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы заменить квадраты тригонометрических функций:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ (тождество 1).

Подставим это в исходное уравнение:

$1 - \cos^2 x + 2 \sin 4x = -\cos^2 x$.

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$1 + 2 \sin 4x = 0$.

Далее, разделим обе стороны на 2:

$\sin 4x = -\frac{1}{2}$.

Теперь нам нужно найти углы $4x$, для которых синус равен $-\frac{1}{2}$. Такие углы это $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Так как $4x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $4x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, то:

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2} n$ или $x = -\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{2} n$,

где $n$ - целое число.

Таким образом, общее решение данного уравнения:

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2} n$ или $x = -\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{2} n$,

где $n$ - целое число.