Question

Без спама, просто решение, заранее спасибо! Бічна сторона рівнобедреного трикутника ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 3:2, рахуючи від вершини кута при основі трикутника. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр = 64 см​

Answer 1

Відповідь:

64:2*3=39

Покрокове пояснення:

У треугольника все стороны ровны.

1)64:2=23см

2)23*3=39см

Answer 2

Позначимо бічну сторону рівнобедреного трикутника як $x$. Оскільки точка дотику вписаного кола ділить бічну сторону у відношенні 3:2, то ми можемо позначити відстань від вершини трикутника до точки дотику як $3k$ та $2k$, де $k$ - деяка константа.

Отже, ми маємо дві довжини $3k$ та $2k$ та основу $x$ трикутника. Знаючи, що сума всіх сторін трикутника дорівнює його периметру, ми можемо записати рівняння:

$x + 3k + 2k = 64$

Спростимо його:

$x + 5k = 64$

Тепер ми знаємо, що вписане коло рівнобедреного трикутника ділить бічну сторону на відрізки $3k$ та $2k$. Відомо також, що радіус вписаного кола дорівнює півпериметру трикутника поділеному на площу трикутника:

$r = \frac{P}{2s}$

де $P$ - периметр трикутника, $s$ - півпериметр трикутника.

Підставимо відомі значення:

$r = \frac{64}{2 \cdot \left(\frac{x + 3k + 2k}{2}\right)} = \frac{64}{x + 5k}$

Оскільки вписаний коло рівнобедреного трикутника дотикається до бічної сторони відносно до точки дотику, то радіус кола рівний відстані від вершини трикутника до цієї точки. Ми можемо записати:

$r = 3k + 2k = 5k$

Встановимо рівність:

$5k = \frac{64}{x + 5k}$

Розв'яжемо це рівняння відносно $k$:

$5k(x + 5k) = 64$ $5kx + 25k^2 = 64$ $25k^2 + 5kx - 64 = 0$

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня, але ми також знаємо, що сума сторін трикутника дорівнює периметру:

$x + 5k = 64$ $x = 64 - 5k$

Підставимо це значення в квадратне рівняння:

$25k^2 + 5k(64 - 5k) - 64 = 0$ $25k^2 + 320k - 25k^2 - 64 = 0$ $320k - 64 = 0$ $k = \frac{64}{320} = \frac{1}{5}$

Тепер ми знаємо значення $k$, і можемо знайти $x$:

$x = 64 - 5k = 64 - 5 \cdot \frac{1}{5} = 64 - 1 = 63$

Отже, бічна сторона трикутника $x = 63$ см, а відстані від вершини трикутника до точки дотику дорівнюють $3k = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ і $2k = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ відповідно.