Question

бічна сторона рівнобедреного трикутника точкою дотику вписаного кола ділить у співвідношені 8\9,рахуючи від вершини кута при основі трикутника .Знайдіть периметр трикутника ,якщо радіус вписаного кола дорівнює 16см

Answer 1

Трикутник i вписане коло.

Answer 2

Позначимо бічну сторону рівнобедреного трикутника як $AB$, вершину кута при основі як $C$ і центр вписаного кола як $O$. Нехай точка дотику вписаного кола до сторони $AB$ має координати $(x,0)$, де $x$ - довжина відрізку $AD$, де $D$ - точка дотику сторони $AB$ з колом.

Так як точка дотику є точкою тангенції, ми маємо $OD \perp AB$, тобто $OD$ є висотою трикутника $ABC$. Позначимо радіус вписаного кола як $r$. Тоді за теоремою Піфагора в правокутному трикутнику $ODC$ маємо:

$$OC^2 = OD^2 + DC^2 = (r+x)^2 + r^2.$$

Так як трикутник $ABC$ є рівнобедреним, то $AD = BD$, тобто $x = AB/2$. З умови задачі відношення $AD/AB$ дорівнює $8/9$, тому маємо:

$$x = \frac{8}{9}AB.$$

Підставляючи це значення в попереднє рівняння, отримуємо:

$$OC^2 = \left(\frac{17}{9}AB\right)^2 + 16^2.$$

Оскільки трикутник $ABC$ є рівнобедреним, то ми маємо $AC = BC$, тобто $AB = 2AC$. З теореми Піфагора в правокутному трикутнику $OAC$ маємо:

$$OA^2 = OC^2 - AC^2 = \left(\frac{17}{9}AB\right)^2 + 16^2 - \left(\frac{1}{2}AB\right)^2.$$

Підставляючи значення $AB = 2AC$ і спрощуючи вираз, отримуємо:

$$OA^2 = \frac{5776}{81} AC^2.$$

Знову з того, що трикутник $ABC$ є рівнобедреним, маємо $BC = AC$. Тому периметр трикутника $ABC$ дорівнює $2AC + AB$. Підставляючи $AB = 2AC$ і знаходячи значення $AC$ з рівняння $OA^2 = \frac{5776}{81} AC^2$, отр