Question

Найти общий вид первообразных для функции f(x)=(2x-1)^5

Answer 1

Ответ:

8

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти общий вид первообразной для функции f(x) = (2x - 1)^5, мы можем использовать метод интегрирования по частям (integration by parts) несколько раз.

Начнем с интегрирования по частям один раз: ∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u = (2x - 1)^5, dv = dx, du = 10(2x - 1)^4 dx и v = x.

Применяем интегрирование по частям: ∫ (2x - 1)^5 dx = x(2x - 1)^5 - ∫ x * 10(2x - 1)^4 dx.

Теперь продолжим интегрировать по частям для второго слагаемого: ∫ x * 10(2x - 1)^4 dx = x(2x - 1)^5 - ∫ x * 10(2x - 1)^4 dx, = x(2x - 1)^5 - ∫ 10x(2x - 1)^4 dx.

Теперь интегрируем второе слагаемое: ∫ 10x(2x - 1)^4 dx = x(2x - 1)^5 - ∫ 10x(2x - 1)^4 dx, = x(2x - 1)^5 - ∫ 80x^2(2x - 1)^3 dx.

Продолжая этот процесс несколько раз, мы получим: ∫ (2x - 1)^5 dx = x(2x - 1)^5 - ∫ 10x(2x - 1)^4 dx, = x(2x - 1)^5 - x(2x - 1)^5 + ∫ 20x^2(2x - 1)^3 dx, = x(2x - 1)^5 - x(2x - 1)^5 + x(2x - 1)^5 - ∫ 120x^3(2x - 1)^2 dx, = x(2x - 1)^5 - x(2x - 1)^5 + x(2x - 1)^5 - x(2x - 1)^5 + ∫ 240x^4(2x - 1) dx, = 240∫ x^5(2x - 1) dx - 240∫ x^4(2x - 1)^5 dx.

Теперь мы можем интегрировать оставшиеся слагаемые: ∫ x^5(2x - 1) dx = (1/6)x^6(2x - 1) - ∫ (1/6)x^6 * 2 dx, = (1/6)x^6(2x - 1) - (1/3)∫ x^6 dx, = (1/6)x^6(2x - 1) - (1/3) * (1/7)x^7 + C1, = (1/6)x^6(2x - 1) - (1/21)x^7 + C1.

Аналогично для ∫ x^4(2x - 1)^5 dx: ∫ x^4(2x - 1)^5 dx = (1/5)x^5(2x - 1)^5 - ∫ (1/5)x^5 * 10(2x - 1)^4 dx, = (1/5)x^5(2x - 1)^5 - (2/5)∫ x^5(2x - 1)^4 dx, = (1/5)x^5(2x - 1)^5 - (2/5) * [(1/6)x^6(2x - 1) - (1/21)x^7 + C1], = (1/5)x^5(2x - 1)^5 - (1/15)x^6(2x - 1) + (2/105)x^7 - (2/5)C1.

Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = (2x - 1)^5 будет: ∫ (2x - 1)^5 dx = (1/6)x^6(2x - 1) - (1/21)x^7 + C1 - (1/5)x^5(2x - 1)^5 + (1/15)x^6(2x - 1) - (2/105)x^7 + (2/5)C1, = - (1/5)x^5(2x - 1)^5 + (1/6)x^6(2x - 1) + (2/105)x^7 + C,

где C = C1 - (2/5)C1.