Question

Найти интервалы возрастания и убывания функции y=2x^3-3x^2-36x+ 40.

Answer 1

Дана функция y=2x^3-3x^2-36x+ 40.

Находим её производную.

y' = 6x² - 6x - 36.

Приравниваем производную нулю.

6x² - 6x - 36 = 6(x² - x - 6) = 0. Находим корни квадратного трёхчлена

x² - x - 6 = 0.   D = 1 - 4*1*(-6) = 25.   √D = +-5.

x1 = (1 - 5)/2 = -2,  x2 = (1 + 5)/2 = 3.

Найдены критические точки x1 = -2 и x2 = 3.

Имеем 3 промежутка монотонности функции.

Находи знаки производной на этих промежутках.

х =  -3        -2       0         3           4  

y' = 36    0    -36       0     36 .

Как видим. на промежутках (-∞; -2) и (3; +∞) функция возрастает,

на промежутке (-2; 3) функция убывает.

Answer 2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, сначала найдем ее производную, а затем проанализируем знаки производной на различных участках.

Дана функция: $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx} (2x^3 - 3x^2 - 36x + 40)$

Используя правила дифференцирования, получим: $y' = 6x^2 - 6x - 36$

2. Найдем точки, где производная равна нулю: $6x^2 - 6x - 36 = 0$ $x^2 - x - 6 = 0$

Факторизуем уравнение: $(x - 3)(x + 2) = 0$

Из этого уравнения видно, что $x = 3$ и $x = -2$ - это точки, в которых производная равна нулю.

3. Построим таблицу знаков производной $y'$ для интервалов, определенных точками $x = -\infty$, $x = -2$, $x = 3$ и $x = +\infty$:

   Интервал	(-\infty, -2)	(-2, 3)	(3, +\infty)
   y'	+	-	+

Теперь мы можем сделать выводы о возрастании и убывании функции $y$ на различных интервалах:

• Функция $y$ возрастает на интервале $(-2, 3)$, так как производная $y'$ на этом интервале отрицательна.
• Функция $y$ убывает на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(3, +\infty)$, так как производная $y'$ на этих интервалах положительна.

Итак, интервалы возрастания и убывания функции $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$ следующие:

• Возрастание: $(-2, 3)$
• Убывание: $(-\infty, -2)$ и $(3, +\infty)$