Question

Найти значение выражения sin(α+β)*sin(α-β), если sinα=-1/3 и cosβ=-1/2

Answer 1

Ответ:

Смотрите вложение.

______________________________________

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Известно, что:

• $\sin(\alpha) = -\frac{1}{3}$
• $\cos(\beta) = -\frac{1}{2}$

Мы можем использовать тригонометрические тождества для суммы и разности углов:

1. $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$
2. $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$

Подставляем известные значения:

1. $\sin(\alpha + \beta) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
2. $\sin(\alpha - \beta) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

Вычисляем значения:

1. $\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{8}}{6}$
2. $\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{8}}{6}$

Теперь находим значение искомого выражения:

$\sin(\alpha + \beta) \cdot \sin(\alpha - \beta) = \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{8}}{6}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{8}}{6}\right)$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$\frac{1}{36} - \frac{8}{36} = -\frac{7}{36}$

Итак, значение выражения $\sin(\alpha + \beta) \cdot \sin(\alpha - \beta)$ равно $-\frac{7}{36}$.