Question

Найти частное решение дифференциального уравнения y"-7 y' + 6 y =0; y (0)=3; y'(0)=4;Помогите пожалуйста !!! Срочно решается судьба )

Answer 1

Ответ:

(14*exp(x)+exp(6x))/5

Пошаговое объяснение:

Решение ищем в виде y(x)=k1*exp(A*x)+k2*exp(B*x)

A,B - это корни характеристического уравнения

t^2-7t+6=0

A=1 , B=6

k1 и k2 определяем из начальных условий

k1 + k2=3

k1+6k2=4

k2=1/5 k1=14/5

Ответ: (14*exp(x)+exp(6x))/5

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения мы можем сначала найти характеристическое уравнение, затем найти его корни и используя эти корни, получить общее решение.

Характеристическое уравнение получается из исходного дифференциального уравнения путем замены y(t) на e^(rt), где r - неизвестная константа:

r^2 - 7r + 6 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или факторизации:

(r - 6)(r - 1) = 0

Из этого уравнения получаем два корня: r1 = 6 и r2 = 1.

Теперь мы знаем корни характеристического уравнения, и общее решение будет иметь вид:

y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t),

где C1 и C2 - произвольные константы, которые мы должны найти, используя начальные условия y(0) = 3 и y'(0) = 4.

Подставляем начальные условия:

y(0) = C1 * e^(6 * 0) + C2 * e^(1 * 0) = C1 + C2 = 3, y'(0) = C1 * (6 * e^(6 * 0)) + C2 * (1 * e^(1 * 0)) = 6 * C1 + C2 = 4.

Решаем эту систему уравнений относительно C1 и C2:

С1 = 3 - C2, 6 * C1 + C2 = 4.

Подставляем первое уравнение во второе:

6 * (3 - C2) + C2 = 4, 18 - 6 * C2 + C2 = 4, -5 * C2 = -14, C2 = 14/5.

Теперь находим C1:

C1 = 3 - C2, C1 = 3 - 14/5, C1 = (15 - 14)/5, C1 = 1/5.

Итак, найденные константы:

C1 = 1/5, C2 = 14/5.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y'' - 7y' + 6y = 0 с начальными условиями y(0) = 3 и y'(0) = 4:

y(t) = (1/5) * e^(6t) + (14/5) * e^(t).