Question

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. а) у=х2+4; у=5; б) 0,5х+2; у=-х+5.

Answer 1

$\displaystyle\\1)S=\int\limits^1_{-1} {5-x^2-4} \, dx=\int\limits^1_{-1} {1-x^2} \, dx=(x-\frac{x^3}{3})\mid^1_{-1}=1-\frac{1}{3}-(-1+\frac{1}{3})=\\\\\\ =1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3} \\\\\\2)\cdots$

В варианте б нельзя найти площадь между графиками y=0,5x+2 и y=-x+5

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо вычислить интеграл от разности этих кривых по переменной x в пределах, где они пересекаются.

а) y = x^2 + 4 и y = 5

Сначала найдем точки пересечения этих кривых:

x^2 + 4 = 5 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точки пересечения находятся при x = -1 и x = 1.

Площадь фигуры между кривыми будет вычисляться как разность интегралов:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx

Подставляем значения точек пересечения в качестве границ интегрирования:

Площадь = ∫[-1, 1] ((5) - (x^2 + 4)) dx

Вычисляем интеграл:

Площадь = ∫[-1, 1] (5 - x^2 - 4) dx = ∫[-1, 1] (1 - x^2) dx

Интегрирование: ∫(1 - x^2) dx = x - (x^3)/3

Вычисляем значения в пределах интегрирования и вычитаем:

Площадь = [x - (x^3)/3] от -1 до 1 = (1 - (1^3)/3) - (-1 - (-1^3)/3) = (1 - 1/3) - (-1 + 1/3) = 2/3 + 2/3 = 4/3

б) y = 0.5x + 2 и y = -x + 5

Находим точку пересечения:

0.5x + 2 = -x + 5 1.5x = 3 x = 2

Подставляем значение точки пересечения в качестве границы интегрирования:

Площадь = ∫[0, 2] ((-x + 5) - (0.5x + 2)) dx

Вычисляем интеграл:

Площадь = ∫[0, 2] (4.5 - 1.5x) dx

Интегрирование: ∫(4.5 - 1.5x) dx = 4.5x - (1.5x^2)/2

Вычисляем значения в пределах интегрирования и вычитаем:

Площадь = [4.5x - (1.5x^2)/2] от 0 до 2 = (4.5 * 2 - (1.5 * 2^2)/2) - (0) = (9 - 6) - (0) = 3

Итак, площадь фигуры между кривыми в случае (а) равна 4/3, а в случае (б) равна 3.