Question

Напишите уравнение касательной к графику функции в точке х0=2. а) у = 0,5x4 ─ x3 + 2 б) у = – x5+2x3+ 3х Если можно, на листочке, заранее спасибо!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

уравнение касательной y = kx +b

k = y'(x₀)

b = y(x₀) - y'(x₀) * x₀

осталось вычислить производные и значение функции и ее производной в точке x₀ = 2

1) у'(x) = 2x³ -3x² = x²(2x-3)

y'(2) = 4

y(2) = 0.5*2⁴ - 2³ +2 = 2

b = 2 -4*2 = -6

y = 4x - 6

2) y'(x) = -5x⁴ +2*3x² +3 = -5x⁴ +6x² +3

y'(2) = -5*16 +6*4 +3 = -53

y(2) = -2⁵ +2*2³ +3*2 = -10

b = -10 - (-53)*2 = 96

y = 96 - 53x

Answer 2

Конечно, я помогу вам записать уравнения касательных к графикам данных функций в точке $x_0 = 2$.

а) Для функции $y = 0.5x^4 - x^3 + 2$, первая производная $y'$ будет: $y' = 2x^3 - 3x^2.$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $y'(2) = 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 16 - 12 = 4.$

Теперь уравнение касательной в точке $x_0 = 2$ имеет вид: $y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0),$ где $y_0$ - значение функции в точке $x_0$. Подставляем значения: $y - 2 = 4(x - 2).$ Упростим: $y = 4x - 8 + 2 = 4x - 6.$

б) Для функции $y = -x^5 + 2x^3 + 3x$, первая производная $y'$ будет: $y' = -5x^4 + 6x^2 + 3.$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $y'(2) = -5 \cdot 2^4 + 6 \cdot 2^2 + 3 = -80 + 24 + 3 = -53.$

Теперь уравнение касательной в точке $x_0 = 2$ имеет вид: $y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0),$ где $y_0$ - значение функции в точке $x_0$. Подставляем значения: $y - (2) = -53(x - 2).$ Упростим: $y = -53x + 106 + 2 = -53x + 108.$

Таким образом, уравнения касательных к данным функциям в точке $x_0 = 2$ будут:

а) $y = 4x - 6$. б) $y = -53x + 108$.