Question

найти частное решение дифференциального уравнения ,удовлетворяющее начальным условиям - y"-5 y' +6 y = 2 x*e^-x ; y(0)=0 ; y'(0) =1

Answer 1

Ответ:

$y = -\frac{11}{9}e^{2x} + \frac{9}{8}e^{3x}+\frac{e^{-x}}{72}(12x+7)$

Пошаговое объяснение:

$y''-5y'+6y=2xe^{-x}, y(0)=0, y'(0)=1$

Имеем дело с неоднородным линейным уравнением. Его решение можно искать в виде суммы общего решения  однородного уравнения и частного решения неоднородного: $y=y_o+\bar y$

Однородное уравнение: $y''-5y'+6y=0$

Его характеристическое уравнение: $k^2-5k+6 = 0 => (k-2)(k-3) = 0 => k_1=2,k_2=3$

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

$y_o = C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$

Частное решение неоднородного уравнения имеет смысл искать в виде: $\bar y = (Ax+B)e^{-x}$

Посчитаем производные:

$\bar y' = ((Ax+B)e^{-x})' = Ae^{-x}-(Ax+B)e^{-x};$

$\bar y'' = (Ae^{-x}-(Ax+B)e^{-x})' = -Ae^{-x} - Ae^{-x} + (Ax+B)e^{-x} = -2Ae^{-x}+(Ax+B)e^{-x}$

Подставляем в уравнение и сокращаем на экспоненту:

$-2A+Ax+B -5(A-Ax-B)+6(Ax+B)=2x;$

$12Ax -7A+12B = 2x => A=\frac{1}{6}, -7A+12B=0 => B=\frac{7}{12}A=\frac{7}{72} => \bar y = \frac{e^{-x}}{72}(12x+7)$

Тогда общее решение запишется в виде:

$y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x} +\frac{e^{-x}}{72}(12x+7)$

Определим константы из начальных условий:

$y(0) = C_1+C_2+\frac{7}{72}=0 => C_1 = -C_2-\frac{7}{72}$

$y'(0) = 2C_1+3C_2-\frac{7}{72}+\frac{1}{6}=1 => 2C_1+3C_2 = \frac{67}{72}$

$-2C_2-\frac{7}{36}+3C_2=\frac{67}{72} => C_2 = \frac{9}{8} => C_1 = -\frac{9}{8}-\frac{7}{72} = -\frac{11}{9} => y = -\frac{11}{9}e^{2x} + \frac{9}{8}e^{3x}+\frac{e^{-x}}{72}(12x+7)$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала найдем общее решение однородной части уравнения (без правой части), а затем найдем частное решение с помощью вариации постоянных.

Дифференциальное уравнение: y" - 5y' + 6y = 2xe^(-x)

1. Найдем общее решение однородной части: y_h'' - 5y_h' + 6y_h = 0

Попробуем найти характеристическое уравнение для этой однородной части: r^2 - 5r + 6 = 0

Решая это квадратное уравнение, получим два корня: r1 = 3 и r2 = 2.

Таким образом, общее решение однородной части: y_h(x) = c1 * e^(3x) + c2 * e^(2x)

2. Теперь используем метод вариации постоянных, чтобы найти частное решение.

Предположим, что частное решение имеет вид: y_p(x) = u(x) * e^(-x), где u(x) - функция, которую нужно найти.

Вычислим производные: y_p'(x) = u'(x) * e^(-x) - u(x) * e^(-x) y_p''(x) = u''(x) * e^(-x) - 2u'(x) * e^(-x) + u(x) * e^(-x)

Подставляем найденные производные в исходное уравнение: u''(x) * e^(-x) - 2u'(x) * e^(-x) + u(x) * e^(-x) - 5[u'(x) * e^(-x) - u(x) * e^(-x)] + 6[u(x) * e^(-x)] = 2x * e^(-x)

Упростим уравнение, деля все на e^(-x): u''(x) - 2u'(x) + u(x) - 5u'(x) + 5u(x) + 6u(x) = 2x

Теперь объединяем подобные слагаемые: u''(x) - 7u'(x) + 12u(x) = 2x

Теперь решим это однородное дифференциальное уравнение. Предположим, что решение имеет вид: u(x) = A * x + B

Вычислим производные: u'(x) = A u''(x) = 0

Подставляем в исходное уравнение: 0 - 7A + 12(A * x + B) = 2x

Приводим уравнение к виду: 5Ax + 12B - 7A = 2x

Сравнивая коэффициенты при x, получаем: 5A = 2 12B - 7A = 0

Из первого уравнения находим A: A = 2/5

Подставляем A во второе уравнение: 12B - 7 * (2/5) = 0 12B = 14/5 B = 7/30

Таким образом, u(x) = (2/5)x + 7/30

И, наконец, частное решение: y_p(x) = (2/5)x * e^(-x) + 7/30 * e^(-x)

3. Теперь суммируем общее решение однородной части и частное решение: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 * e^(3x) + c2 * e^(2x) + (2/5)x * e^(-x) + 7/30 * e^(-x)

Используя начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 1, можно найти значения констант c1 и c2: y(0) = c1 + c2 + 7/30 = 0 c1 + c2 = -7/30

y'(x) = 3c1 * e^(3x) + 2c2 * e^(2x) - (2/5)x * e^(-x) - (7/30) * e^(-x) y'(0) = 3c1 + 2c2 - 7/30 = 1 3c1 + 2c2 = 31/30

Решая эту систему уравнений, можно найти значения c1 и c2. После этого подставьте их в общее решение, и вы получите окончательное частное решение данного дифференциального уравнения.