Question

Дано: A = {x, y: x2 + y2 ≤ 4}; B = {x, y: x2 + y2 - 2y ≤ 0}. Побудувати: A, B, A ∩ B, A \ B.

Answer 1

Ответ:

1)   $A=\{x,y:\ x^2+y^2\leq 4\; \}$  - круг, центр в (0,0)  , R=2

2)  $B=\{x,y:\ x^2+y^2-2y\leq 0\}\ \ \to \ \ B=\{x,y:\ x^2+(y-1)^2\leq 1\; \}$ -- круг, центр в точке (0,1)  , R=1

3)   A∩B=B

4)   A\B - часть круга А, которая не входит в круг В

$\star \ \ x^2+y^2-2y=0\\\\x^2+(y-1)^2-1=0\\\\x^2+(y-1)^2=1$

Answer 2

Множества А и B заданы неявно.

$A=\{x, y: x^2 + y^2 \leq 4\}\\\\\exists\ \ x,y \in \{x^2 + y^2 \leq 4\}$

К примеру x=1, y=0 , 1² + 0² ≤ 4⇒1 ≤ 4  , значит $A=\{1,0\}$

$B=\{x, y: x^2 + y^2 - 2y \leq 0\}\\\\\exists\ \ x,y\in\{x^2 + y^2 - 2y \leq 0\}$

К примеру x=0, y=1, 0² + 1²- 2*1 ≤ 0⇒ 1 - 2 ≤ 0⇒ -1 ≤ 0, значит $B=\{0,1\}$

Тогда

$A\bigcap B=\{0,1\}\\\\A\backslash B=\{\}$

Answer 3

Давайте подробнее рассмотрим каждое множество и выполним указанные операции над ними:

1. Множество A: {x, y: x^2 + y^2 ≤ 4} Это множество описывает закрашенную область внутри окружности радиусом 2 и центром в начале координат.

2. Множество B: {x, y: x^2 + y^2 - 2y ≤ 0} Это множество описывает область, ограниченную окружностью радиусом 1 и центром в точке (0, 1).

Теперь выполним операции над множествами:

3. Пересечение множеств A и B (A ∩ B): Для этого найдем точки, которые удовлетворяют обоим условиям: x^2 + y^2 ≤ 4 и x^2 + y^2 - 2y ≤ 0. Обе эти области пересекаются в верхней половине окружности радиусом 1 с центром в точке (0, 1).

4. Разность множеств A и B (A \ B): В данном случае нужно найти точки из множества A, которые не принадлежат множеству B. Множество A ограничивает окружность радиусом 2, а множество B ограничивает окружность радиусом 1. Таким образом, множество A \ B будет состоять из верхней половины окружности радиусом 2 (без верхней половины окружности радиусом 1).

Итак, для наглядности:

A - закрашенная область внутри окружности радиусом 2 с центром в начале координат. B - закрашенная область ограниченная окружностью радиусом 1 с центром в точке (0, 1). A ∩ B - верхняя половина окружности радиусом 1 с центром в точке (0, 1). A \ B - верхняя половина окружности радиусом 2 без верхней половины окружности радиусом 1.

Обратите внимание, что в случае A ∩ B, верхнюю половину окружности радиусом 1 можно было бы описать как {x, y: x^2 + (y - 1)^2 ≤ 1}, так как это окружность с центром в точке (0, 1) и радиусом 1.