Question

Исследовать функцию на экстремумы с помощью производной, определить промежутки возрастания и убывания. Построить график функции. y=x^2 +8x+15

Answer 1

Ответ:

убывание это от -Б до точки (-4;-1)

возрастание от этой же точки до +Б

Пошаговое объяснение:

y=x^2+8x+15

x=-b/2a=-8/2=-4

y=(-4)^2+8*(-4)+15=16-32+15=-1

x=-3

y=(-3)^2+8*(-3)+15=9-24+15=0

x=-2

y=4-16+15=3

x=-1

y=1-8+15=8

убывание это от -Б до точки (-4;-1)

возрастание от этой же точки до +Б

Answer 2

Для исследования функции $y = x^2 + 8x + 15$ на экстремумы сначала найдем её производную, а затем проанализируем поведение производной на промежутках.

1. Найдем производную функции $y = x^2 + 8x + 15$: $y' = 2x + 8.$

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $2x + 8 = 0.$ $2x = -8.$ $x = -4.$

Таким образом, у нас есть одна стационарная точка при $x = -4$.

3. Анализ знаков производной на промежутках:

   3.1. Для $x < -4$: Подставляем $x = -5$ в $y'$ (знаки меняются, так как $x + 4$ отрицательно): $2x + 8 = 2(-5) + 8 = -2 < 0.$

   3.2. Для $-4 < x$: Подставляем $x = -3$ в $y'$ (знаки меняются, так как $x + 4$ положительно): $2x + 8 = 2(-3) + 8 = 2 > 0.$

Таким образом, производная положительна на интервале $-\infty < x < -4$ и отрицательна на интервале $-4 < x < +\infty$.

4. Стационарная точка $x = -4$ является локальным минимумом функции, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Теперь построим график функции:

На графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке $(-4, 1)$.