Question

Найдите промежуток убывания функции > f(x)=4х^3-12х+5полное решение!

Answer 1

Решение:

Для начала найдём производную данной функции:

$\boxed{f(x)=4{x}^{3}-12x+5} \\ \\ f'(x)=(4{x}^{3}-12x+5)'=(4{x}^{3})'-(12x)'+(5)'=3\cdot4{x}^{3-1}-12\cdot1+0=\boxed{12x^2-12}$

Теперь найдём критические точки, приравнивая производную к нулю:

$12{x}^{2}-12=0 \\ \\ 12x^2=12 \\ \\ x=\pm 1$

Итак критические точки: $x_1=1, \: \: x_2=-1$.

Устанавливаем знак производной на каждом интервале (см рисунок).

Функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; \: -1]$ и $[1; \: +\infty)$.

То есть функция убывает на промежутке $\boxed{[-1; \: 1]}$.

Ответ: $\Large{\boxed{[-1; \: 1]}}$

Answer 2

Для того чтобы найти промежуток убывания функции $f(x) = 4x^3 - 12x + 5$, нужно найти интервалы, на которых функция убывает. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 12x^2 - 12.$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти критические точки: $12x^2 - 12 = 0.$

   Решение данного уравнения: $x^2 = 1$, что приводит к двум решениям: $x = 1$ и $x = -1$.

3. Построим таблицу знаков производной $f'(x)$ и выясним, как меняется знак производной на разных интервалах:

   Интервал	-∞	-1	1	+∞
   f'(x)	-	+	+	+

   Из таблицы видно, что производная меняет знак с отрицательного на положительный при переходе через точку $x = -1$, и с положительного на положительный при переходе через точку $x = 1$.

4. Теперь, зная информацию о знаках производной, можем определить, когда функция $f(x)$ убывает:

   • На интервале $(-∞, -1)$ производная $f'(x)$ отрицательна, что означает, что функция $f(x)$ убывает на этом интервале.
   • На интервале $(-1, 1)$ производная $f'(x)$ положительна, что означает, что функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.
   • На интервале $(1, +∞)$ производная $f'(x)$ также положительна, что означает, что функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Итак, промежуток убывания функции $f(x) = 4x^3 - 12x + 5$ на всей числовой прямой $(-∞, +∞)$ от $-∞$ до $+∞$, так как функция убывает на интервалах $(-∞, -1)$ и $(1, +∞)$.