Question

Чому дорівнює похідна функції y=x*cos*x в точці х0=π

Answer 1

y= x•cosx.

Производная:

y ' = cosx + x (-sinx)= cosx - x•sinx.

В т. х= π производная равна:

y '(π)= cosπ - π•sinπ = -1 - π•0= -1.

Ответ: -1.

Answer 2

Для знаходження похідної функції $y = x \cdot \cos(x)$ в точці $x_0 = \pi$, спершу знайдемо похідну цієї функції за правилом добутку (продуктове правило) та за використанням похідної $\cos(x)$.

Похідна добутку двох функцій $u(x)$ та $v(x)$ обчислюється за формулою: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v',$ де $u'$ - похідна $u$ за $x$, а $v'$ - похідна $v$ за $x$.

У нашому випадку $u(x) = x$ та $v(x) = \cos(x)$, тому $u' = 1$ (похідна від $x$) та $v' = -\sin(x)$ (похідна від $\cos(x)$).

Знаючи це, обчислимо похідну функції $y = x \cdot \cos(x)$:

y' &= (x \cdot \cos(x))' \\ &= (x \cdot (-\sin(x))) + (\cos(x) \cdot 1) \\ &= -x \cdot \sin(x) + \cos(x). \end{aligned}\] Тепер, для знаходження значення похідної в точці \(x_0 = \pi\), підставимо \(x = \pi\) у вираз: \[y'(\pi) = -\pi \cdot \sin(\pi) + \cos(\pi).\] Знаючи, що \(\sin(\pi) = 0\) та \(\cos(\pi) = -1\), маємо: \[y'(\pi) = -\pi \cdot 0 + (-1) = -(-1) = 1.\] Отже, похідна функції \(y = x \cdot \cos(x)\) в точці \(x_0 = \pi\) дорівнює 1.