Question

Исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, точки экстремума: f(x)=2x^6-5x^4 СРОЧНО!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Алгоритм.

1. найдем производную функции  f'(x)=(2x⁶-5x⁴)'=12x⁵-20x³=

4x³(3x²-5)

2. Найдем критические точки. 4x³(3x²-5)=0, х=0; 3х²=5; х=±√(5/3)

3. Решим неравенство 4x³(3x²-5)≥0, установив промежутки возрастания  и убывания.

____-√(5/3)_______0_______√(5/3)______

-                       +               -                      +      

функция убывает при     х∈   (-∞;-√(5/3)] и при х∈ [0;√(5/3)]

функция возрастает при х∈[-√(5/3);0]  и при х∈   [√(5/3);+∞)

х= -√(5/3); х=√(5/3) -точки минимума, т.к. при переходе через них производная меняет знак с минуса на плюс.

х=0- точка максимума, т.к. при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус.

Answer 3

Давайте начнем с нахождения производной функции f(x) = 2x^6 - 5x^4:

f'(x) = d/dx (2x^6 - 5x^4) = 12x^5 - 20x^3.

Теперь найдем точки, где производная равна нулю (критические точки):

12x^5 - 20x^3 = 0 4x^3(3x^2 - 5) = 0.

Из этого уравнения мы получаем два значения x: x = 0 и x = ±√(5/3).

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной f'(x) на интервалах, образованных критическими точками и граничными значениями:

scssCopy code
Interval         | (-∞, -√(5/3)) | (-√(5/3), 0) | (0, √(5/3)) | (√(5/3), ∞)
-----------------|--------------|--------------|-------------|------------
f'(x)             |     -       |      +       |     -       |      +
f(x)             |  Убывание    |   Возрастание| Убывание    |   Возрастание

Таким образом, функция f(x) убывает на интервалах (-∞, -√(5/3)) и (0, √(5/3)), и возрастает на интервалах (-√(5/3), 0) и (√(5/3), ∞).

Далее, чтобы найти точки экстремума, нам нужно проанализировать поведение второй производной. Для этого возьмем производную от f'(x):

f''(x) = d/dx (12x^5 - 20x^3) = 60x^4 - 60x^2 = 60x^2(x^2 - 1).

Теперь мы можем найти значения x, при которых вторая производная равна нулю:

60x^2(x^2 - 1) = 0 x^2(x^2 - 1) = 0 x^2(x - 1)(x + 1) = 0.

Отсюда получаем три значения x: x = 0, x = 1 и x = -1.

Теперь мы можем проанализировать знаки второй производной f''(x) на интервалах:

scssCopy code
Interval         | (-∞, -1) | (-1, 0) | (0, 1) | (1, ∞)
-----------------|----------|---------|--------|-------
f''(x)            |    -     |    +    |   -    |   +
f(x)              | Вогнутость| Вогнутость|Выпуклость|Выпуклость

На интервале (-∞, -1) функция выпуклая вниз (concave down), на интервале (-1, 0) - выпуклая вверх (concave up), на интервале (0, 1) - вогнутая вниз, и на интервале (1, ∞) - вогнутая вверх.

Из этой информации мы можем сделать вывод о точках экстремума:

1. Для x = -√(5/3): Точка минимума (поскольку на данном интервале f(x) убывает, а затем начинает возрастать).
2. Для x = 0: Седловая точка (поскольку на данном интервале f(x) изменяет направление своего возрастания/убывания).
3. Для x = √(5/3): Точка максимума (поскольку на данном интервале f(x) возрастает, а затем начинает убывать).

Пожалуйста, обратите внимание, что мои расчеты основаны на анализе производных и знаков функций на интервалах.