Question

Решить уравнение коши y'-2y=e^x-x, y(0)=0.25

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Для решения данного линейного дифференциального уравнения первого порядка с constante-с коэффициентами можно использовать метод вариации постоянной. Уравнение имеет вид:

y' - 2y = e^x - x

Сначала рассмотрим однородное уравнение:

y' - 2y = 0

Решением однородного уравнения будет:

y_h(x) = C * e^(2x), где C - произвольная постоянная.

Теперь воспользуемся методом вариации постоянной. Предположим, что постоянная C зависит от x:

y_p(x) = A(x) * e^(2x)

Подставим это в исходное неоднородное уравнение:

A'(x) * e^(2x) + 2A(x) * e^(2x) - 2A(x) * e^(2x) = e^x - x

Сократим лишние слагаемые:

A'(x) * e^(2x) = e^x - x

Теперь найдем производную A'(x):

A'(x) = (e^x - x) / e^(2x)

Интегрируем обе стороны:

∫A'(x) dx = ∫(e^x - x) / e^(2x) dx

A(x) = ∫(e^x - x) / e^(2x) dx

Вычислим интеграл справа:

A(x) = ∫(e^x / e^(2x) - x / e^(2x)) dx A(x) = ∫(e^(-x) - x / e^(2x)) dx

A(x) = -e^(-x) - 1/2 * e^(-2x) - C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, частное решение неоднородного уравнения:

y_p(x) = (-e^(-x) - 1/2 * e^(-2x) - C) * e^(2x) y_p(x) = -e^(x) - 1/2 * e^(x) - C * e^(2x)

Теперь можем найти значение C из начального условия y(0) = 0.25:

y(0) = -e^(0) - 1/2 * e^(0) - C * e^(2 * 0) = -1 - 1/2 - C = -3/2 - C

Следовательно, C = 0.25 + 3/2 = 2.75.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:

y_p(x) = -e^(x) - 1/2 * e^(x) - 2.75 * e^(2x)

Окончательное решение уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C * e^(2x) - e^(x) - 1/2 * e^(x) - 2.75 * e^(2x)

где C - произвольная постоянная.