Question

Проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение первого порядка y' - ytgx=2x/cosx

Answer 1

Ответ: это габелла )

Answer 2

Для интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка вида y' - y * t * g(x) = 2x / cos(x), мы можем воспользоваться методом вариации постоянной. Давайте разберемся с этим:

Исходное уравнение: y' - y * t * g(x) = 2x / cos(x)

Преобразуем его к стандартному виду для метода вариации постоянной: y' - y * t * g(x) = 2x / cos(x) y' - y * t * g(x) + y * P(x) = Q(x), где P(x) = 0 и Q(x) = 2x / cos(x).

Теперь найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y' - y * t * g(x) = 0.

Это уравнение имеет вид y' = y * t * g(x), и мы можем его разделить и проинтегрировать: (dy / y) = t * g(x) * dx.

Интегрируя обе стороны: ∫ (dy / y) = ∫ (t * g(x) * dx), ln|y| = ∫ (t * g(x) * dx) + C₁, где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь используем метод вариации постоянной для нахождения частного решения исходного неоднородного уравнения.

Пусть y_p = u(x) * v(x), где u(x) и v(x) - неизвестные функции.

Тогда y_p' = u'v + uv'.

Подставляем это в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях: u'v + uv' - u * t * g(x) * v = 2x / cos(x).

Учитывая, что u'v + uv' = (uv)', уравнение примет вид: (uv)' - u * t * g(x) * v = 2x / cos(x).

Теперь находим u(x) и v(x) так, чтобы левая часть была проинтегрированной производной: (uv)' = 2x / cos(x) + u * t * g(x) * v.

Интегрируем обе стороны: uv = ∫ (2x / cos(x) + u * t * g(x) * v) dx + C₂, где C₂ - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, разделив обе стороны на v и перегруппировав, получаем: u = [∫ (2x / (v * cos(x))) dx + C₂] / [t * g(x) * v - 1].

Таким образом, мы нашли выражение для u(x).

В итоге, общее решение исходного уравнения будет: y = y_h + y_p, где y_h - общее решение однородного уравнения (ранее найдено), а y_p - частное решение неоднородного уравнения (с использованием метода вариации постоянной и вычисленное выше).