Question

Проинтегрировать дифференциальное уравнение а) y-y'cosx=(y^2)cosx(1-sinx)

Answer 1

Разделим обе части уравнения на $y^2\cos x$, получим:
$- \dfrac{y'}{y^2} + \dfrac{1}{y\cos x} =1-\sin x$

Пусть $u= \dfrac{1}{y}$, тогда получаем:

$\dfrac{du}{dx} + \dfrac{u}{\cos x} =1-\sin x\,\,\, \big|\cdot dx$
$du+\bigg(\sin x-1+ \dfrac{u}{\cos x}\bigg)dx=0$

Проверим, является ли дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} \bigg(\sin x-1+ \frac{u}{\cos x} \bigg)=\frac{1}{\cos x} \\ \\ \\ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \big(1\big)=0$


Поскольку $\dfrac{\partial M}{\partial u} \ne \dfrac{\partial N}{\partial x}$, значит уравнение не в полных дифференциалах.

Найдем интегрирующий множитель:
$\phi(x)= \dfrac{ \frac{\partial M}{\partial y}- \frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \dfrac{1}{\cos x}$

$\displaystyle \mu=e^\bigg{\int \phi(x)dx}=e^\bigg{\int \frac{dx}{\cos x} }= e^\bigg{\ln| \frac{1+\sin x}{\cos x}| }= \frac{1+\sin x}{\cos x}$

Домножим обе части уравнения интегрирующий множитель:
$\dfrac{1+\sin x}{\cos x}du+ \dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x} dx=0$

Проверим, является ли последнее уравнение в полных дифференциалах.

$\dfrac{\partial M}{\partial u} = \dfrac{1+\sin x}{\cos^2x}\\ \\ \dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\cos^2x+\sin^2x+\sin x}{\cos^2x}= \dfrac{1+\sin x}{\cos^2x}$

Итак, является уравнением в полных дифференциалах.
Значит существует некоторая функция $z(x;u)=C$

$\displaystyle \dfrac{\partial z}{\partial u} = \frac{1+\sin x}{\cos^2x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\, (\star)\\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{u(1+\sin x)}{\cos^2x}$
Проинтегрируем $(\star)$ по $u$, то есть:
$z= \dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2x} +g(u)$
Теперь дифференцируем по $x$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x} +g'(u)$

Подставим

$\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}+g'(u)=\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}\\ \\ g'(u)=1\\ g(u)=u$

То есть, имеем решение относительно переменной $z$
$\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}+u=C$

Обратная замена

$\boxed{\frac{1+\sin x}{y\cos^2 x}+ \frac{1}{y} =C}$ - общий интеграл

Answer 2

Конечно, давайте проинтегрируем данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

\[ y - y'\cos(x) = y^2\cos(x)(1-\sin(x)) \]

Для начала представим уравнение в более удобной форме, выделив производную:

\[ y' = \frac{dy}{dx} \]

Теперь уравнение можно записать следующим образом:

\[ y - y'\cos(x) = y^2\cos(x)(1-\sin(x)) \]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\cos(x)(1-\sin(x))\) и приведем его к более стандартному виду:

\[ \frac{y - y'\cos(x)}{\cos(x)(1-\sin(x))} = y^2 \]

Теперь давайте проинтегрируем обе стороны уравнения. Но сначала заметим, что левая сторона выглядит как частное производной функции \(y\) по \(x\) и произведения двух функций:

\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{y}{1-\sin(x)}\right) \]

Теперь проинтегрируем обе стороны:

\[ \int \frac{d}{dx} \left(\frac{y}{1-\sin(x)}\right) \,dx = \int y^2 \,dx \]

После интегрирования получаем:

\[ \frac{y}{1-\sin(x)} = \int y^2 \,dx + C \]

где \(C\) — постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы решить уравнение относительно \(y\), домножим обе стороны на \(1-\sin(x)\):

\[ y = (1-\sin(x))\int y^2 \,dx + C(1-\sin(x)) \]

Итак, это является решением данного дифференциального уравнения. Однако, интеграл от \(y^2\) может быть сложным, и в общем случае, этот интеграл может не иметь аналитического решения. В таком случае, решение может быть представлено в виде интеграла.