Question

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции y = 2x³ + 3x² – 12x +5

Answer 1

y' = 6x²+6x-12

найдем экстремумы:

6*(х²+х-2)=0

D = 1²-4*(-2) = 9

√D = 3

X1=(-1-3)/2 = -2

X2=(-1+3)/2 = 1

от -∞ до -2 ↑

от -2 до 1 ↓

от 1 до +∞ ↑

функция убывает при х∈[-2;1]

функция возрастает при х∈(-∞;-2] i [1;+∞)

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции y = 2x³ + 3x² – 12x + 5, нам потребуется вычислить её производную и найти точки, где производная равна нулю (критические точки). После этого мы сможем анализировать знак производной на различных интервалах и определить, где функция возрастает или убывает, и где находятся экстремумы.

1. Найдем производную функции y по x: y' = d(2x³ + 3x² – 12x + 5)/dx y' = 6x² + 6x - 12

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек: 6x² + 6x - 12 = 0 x² + x - 2 = 0 (x + 2)(x - 1) = 0

   Получаем две критические точки: x = -2 и x = 1.

3. Теперь определим знак производной на различных интервалах:

   • Берем тестовую точку x = -3 (меньше -2): y'(-3) = 6(-3)² + 6(-3) - 12 = 36 - 18 - 12 = 6 > 0, значит, функция возрастает на интервале (-∞, -2).
   • Берем тестовую точку x = 0 (между -2 и 1): y'(0) = 6(0)² + 6(0) - 12 = -12 < 0, значит, функция убывает на интервале (-2, 1).
   • Берем тестовую точку x = 2 (больше 1): y'(2) = 6(2)² + 6(2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0, значит, функция возрастает на интервале (1, ∞).

Итак, у нас есть следующая информация о промежутках монотонности:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -2) и (1, ∞).
• Функция убывает на интервале (-2, 1).

4. Найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов:
   • При x = -2: y(-2) = 2(-2)³ + 3(-2)² – 12(-2) + 5 = -16 + 12 + 24 + 5 = 25.
   • При x = 1: y(1) = 2(1)³ + 3(1)² – 12(1) + 5 = 2 + 3 - 12 + 5 = -2.

Итак, у нас есть следующая информация о экстремумах:

• Минимум: x = 1, y = -2.
• Максимум: x = -2, y = 25.