Question

Помогите!!!! y=x3-3x2-1 . Для данной функции y=f(x) найдите: a) Область определения функции D(f). b) Производную и критические точки. c) Промежутки монотонности. d) Точки экстремума и экстремумы функции. e) Точки пересечения графика функции с осями координат и дополнительные точки. f) Постройте график функции.

Answer 1

ДАНО
Y= x² - 3x - 1
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения - непрерывность - разрывов нет.
Х∈(-∞,+∞) или Х∈R.
2. Пересечение с осью Х   ~ 3.2 (сложная формула)  - один корень.
3. Пересечение с осью У - У(0) = -1
4. Поведение на бесконечности
Y(-∞) = -∞ ,  Y(+∞) = +∞
5. Проверка на четность.
Y(x) = x³-3x²-1
Y(-x) = -x³-3x²-1
Y(-x) ≠ Y(x) - функция не четная ни нечетная.
6. Производная функции.
Y' = -3x²-6x =-3*x*(x+2).  Корни - х1 = 0,  х2 = 2.
7. Локальные экстремумы - в корнях производной.
Ymax(0) = -1 - максимум
Ymin(2) = -5 - минимум.
8. Монотонность функции.
Возрастает - X∈(-∞,0]∪[2,+∞)
Убывает - X∈[0,2].
9. Вторая производная.
Y" = -6x-6 = -6*(x+1).
10. Точка перегиба - Y"(x) = 0, х = 1, у = -3.
Выпуклая - "горка" - X∈(-∞,1]
Вогнутая - "ложка" - X∈[1,+∞).
11. Дополнительные точки.
Y(-2) = -22 и Y(-1) = 6 и Y(0) = -2 и Y(2) = -6 и Y(3) = -2 и Y(4) = 14.
12. График прилагается.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт по порядку:

a) Область определения функции \( D(f) \): Область определения - это множество всех значений \( x \), для которых функция определена. Для данной функции \( y = x^3 - 3x^2 - 1 \) нет ограничений на знаменатель или корень, так что её область определения - все действительные числа. Таким образом, \( D(f) = (-\infty, +\infty) \).

b) Производная и критические точки: Найдем производную функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 1 \).

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

\[ 3x^2 - 6x = 0 \]

\[ 3x(x - 2) = 0 \]

Отсюда получаем две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

c) Промежутки монотонности: Изучим знак производной на интервалах между критическими точками (меньше 0, между 0 и 2, больше 2).

- \( (-\infty, 0) \): Выбираем тестовую точку \( x = -1 \), подставляем в производную \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). Значит, функция возрастает на этом интервале. - \( (0, 2) \): Выбираем тестовую точку \( x = 1 \), подставляем в производную \( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). Значит, функция убывает на этом интервале. - \( (2, +\infty) \): Выбираем тестовую точку \( x = 3 \), подставляем в производную \( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). Значит, функция возрастает на этом интервале.

d) Точки экстремума и экстремумы функции: Экстремумы функции могут быть только в критических точках. Подставим их в исходную функцию:

- При \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 1 = -1 \). - При \( x = 2 \): \( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 1 = -1 \).

Таким образом, у функции есть локальный минимум в точке \( x = 0 \) и локальный максимум в точке \( x = 2 \).

e) Точки пересечения графика функции с осями координат и дополнительные точки:

- Пересечение с осью \( OX \) (\( y = 0 \)): \( x^3 - 3x^2 - 1 = 0 \). Это уравнение можно решить графически или численными методами. Однако, заметим, что функция нечётная, поэтому у неё есть корень \( x = -a \), если есть корень \( x = a \). Таким образом, если \( x = 2 \) - корень, то и \( x = -2 \) тоже корень. Проверим, подставив \( x = -2 \): \( (-2)^3 - 3(-2)^2 - 1 = -8 - 12 - 1 = -21 \). Значит, у функции есть корень при \( x = -2 \).

- Пересечение с осью \( OY \) (\( x = 0 \)): \( f(0) = -1 \).

f) Постройте график функции:

График функции можно построить, используя известные точки (критические точки, корни уравнения, значения на осях и т.д.) и информацию о знаках производной на интервалах. Однако, я не могу предоставить вам непосредственно график в текстовом формате. Рекомендую использовать графические инструменты, такие как графические калькуляторы или программы для построения графиков, чтобы визуализировать функцию \( y = x^3 - 3x^2 - 1 \).