Question

1) C помощью производной найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2 2) Решите уравнение: 3cos^2(x) - sinx - 1 = 0

Answer 1

Ответ:

1)функция убывает; если х∈(-2;-1); функция возрастает, если х∈(-∞;-2)∪ (-1;+∞)

Второе не знаю,синусы,косинусы это не мое

шаговое объяснение:

Answer 2

Ответ:1)функция убывает; если х∈(-2;-1); функция возрастает, если х∈(-∞;-2)∪ (-1;+∞)

2) -π/2 + 2nπ, где n∈Z; (-1)ⁿ·arcsin(2/3) +nπ, где n∈Z

Пошаговое объяснение:1) у=2х³+9х²+12х-2, область определения D(y)=R,  2) y'= 6x²+18x+12 ⇒ y'=0, если  6x²+18x+12=0 ⇒ x²+3x+2 ⇒ дискриминант D=9-8=1,  x₁=-1; х₂=-2 - критические точки;   3)критические точки x₁=-1; х₂=-2 разбивают область определения (всю координатную прямую ) на 3 интервала: (-∞;-2), (-2;-1) и (-1;+∞). Найдём знак производной на каждом из этих интервалов:

на  (-∞;-2)   у' (-3)=6·(-3)²+18·(-3)+12= 54-54+12 =12 >0    

на (-2;-1)  y'(-1,5)=6·(-1.5)²+18·(-1,5)+12=13,5-27+12=-1,5 <0    

на (-1;+∞)   y'(0)=12>0

Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает, значит:

функция убывает; если х∈(-2;-1); функция возрастает, если х∈(-∞;-2)∪ (-1;+∞)

2)3cos^2(x) - sinx - 1 = 0⇒ 3Сos²x-Sinx-1=0⇒3 (1- Sin²x)-Sinx-1=0 ⇒                                     3 - 3 Sin²x-Sinx-1=0  ⇔ 3 Sin²x+Sinx-2=0; пусть Sinx=y, причём |y|≤1, тогда 3у²+у-2=0 ⇒ D=1+24=25>0 ⇒ y₁= (-1+5)/6=2/3, y₂=-1 ⇒

а)Если Sinx=-1, то х= -π/2 + 2nπ, где n∈Z;

б) Если Sinx=2/3, то х= (-1)ⁿ·arcsin(2/3) +nπ, где n∈Z

Answer 3

Давайте начнем с первого вопроса. Чтобы найти промежутки монотонности и точки экстремума функции y = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (2x^3 + 9x^2 + 12x - 2) = 6x^2 + 18x + 12.

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю: 6x^2 + 18x + 12 = 0.

Шаг 3: Решим квадратное уравнение для x: x^2 + 3x + 2 = 0.

(x + 2)(x + 1) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x = -2 и x = -1.

Шаг 4: Исследуем знак производной в интервалах между и за пределами критических точек: Примем произвольные значения x в каждом интервале и подставим их в y':

a) Если x < -2, то 6x^2 + 18x + 12 > 0 (положительное значение). b) Если -2 < x < -1, то 6x^2 + 18x + 12 > 0 (положительное значение). c) Если -1 < x, то 6x^2 + 18x + 12 > 0 (положительное значение).

Шаг 5: Сделаем выводы: a) На интервале x < -2 функция возрастает. b) На интервале -2 < x < -1 функция возрастает. c) На интервале -1 < x функция возрастает.

Таким образом, у функции нет точек экстремума, и она монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Теперь перейдем ко второму вопросу и решим уравнение 3cos^2(x) - sinx - 1 = 0:

Пусть z = cos(x). Тогда уравнение можно записать как: 3z^2 - sin(x) - 1 = 0.

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin(x) = √(1 - cos^2(x)), и подставим это в уравнение:

3z^2 - √(1 - z^2) - 1 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно z:

3z^2 - 1 = √(1 - z^2).

Возводим обе части уравнения в квадрат:

9z^4 - 6z^2 + 1 = 1 - z^2.

9z^4 - 7z^2 = 0.

z^2(9z^2 - 7) = 0.

Итак, получаем два возможных значения z:

1. z^2 = 0, что соответствует z = 0 (cos(x) = 0, значит x = π/2 + kπ, где k - целое число).
2. 9z^2 - 7 = 0, что соответствует z^2 = 7/9. Однако это значение не подходит для z, так как косинус ограничен от -1 до 1.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение: x = π/2 + kπ, где k - целое число.