Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=1/2x², y=4-x

Answer 1

$\displaystyle\\S=\int\limits^2_{-4} {4-x-\frac{1}{2}x^2 } \, dx=(4x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})\mid^2_{-4}=4*2-\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{6}-\\\\\\-(-16-\frac{16}{2}+\frac{4^3}{6})=18$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл от одной функции до другой вдоль оси x. Площадь будет равна модулю этого интеграла.

Сначала найдем точки пересечения функций, приравняв их:

1/2x² = 4 - x

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

x² = 8 - 2x

Перенесем все в одну сторону:

x² + 2x - 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

x² + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) = 0

Из этого следует, что x = -4 или x = 2.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена линиями x = -4 и x = 2. Чтобы найти площадь между этими двуми кривыми, нужно вычислить определенный интеграл площади между ними:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

где a = -4, b = 2, верхняя функция это y = 4 - x, а нижняя функция это y = 1/2x².

Подставим значения в интеграл:

Площадь = ∫[-4, 2] [(4 - x) - (1/2x²)] dx

Теперь вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[-4, 2] (4 - x - 1/2x²) dx

Площадь = [4x - 1/2x² - 1/6x³] от -4 до 2

Площадь = [8 - 4 - 8/3] - [(-16 + 8 + 64/3)]

Площадь = [4 - 8/3] - [(-8 + 64/3)]

Площадь = [4/3] - [(-8/3 + 64/3)]

Площадь = 4/3 + 8/3 - 64/3

Площадь = -52/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/2x² и y = 4 - x, составляет -52/3 (приблизительно -17.33) квадратных единиц.