Question

Помогите решить задачу. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=2t²-t+1 (м/с). Найти путь, пройденный за первые 3 секунды. Ответ вроде как: 16,5 м. Распишите пожалуйста порядок решения.

Answer 1

$\displaystyle\\\upsilon(t)=S'(t)\Rightarrow S(t)=\int \upsilon(t) dt\\\\\int\limits^3_0 {2t^2-t+1} \, dt =(\frac{2t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t)\mid^3_0=\frac{2*3^3}{3}-\frac{3^2}{2}+3-(\frac{2*0}{3}-\frac{0}{2}+0)=\\\\\\=18-\frac{9}{2}+3=16,5$

Answer 2

Для нахождения пути, пройденного телом, необходимо проинтегрировать скорость по времени. Сначала найдем выражение для скорости, затем проинтегрируем его, чтобы найти путь.

Исходно дано: $v(t) = 2t^2 - t + 1$ (м/с)

Для нахождения пути, интегрируем скорость по времени:

$s(t) = \int v(t) \, dt$

Интегрируя $2t^2 - t + 1$ по времени, получим:

$s(t) = \frac{2}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + t + C$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти путь, пройденный за первые 3 секунды ($t = 3$), подставим это значение в выражение для пути:

$s(3) = \frac{2}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 + 3 + C$

$s(3) = 18 - \frac{9}{2} + 3 + C$

$s(3) = \frac{9}{2} + C$

Теперь нам дан ответ в виде 16.5 метров. Это означает, что $s(3) = 16.5$. Подставляя это значение, мы можем найти конкретное значение постоянной $C$:

$\frac{9}{2} + C = 16.5$

$C = 16.5 - \frac{9}{2}$

$C = 16.5 - 4.5$

$C = 12$

Теперь мы знаем значение постоянной $C$, и окончательное выражение для пути будет:

$s(t) = \frac{2}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + t + 12$

Подставляя $t = 3$ в это выражение, мы получим:

$s(3) = \frac{2}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 + 3 + 12$

$s(3) = 18 - \frac{9}{2} + 3 + 12$

$s(3) = 16.5 \, \text{м}$

Таким образом, путь, пройденный телом за первые 3 секунды, равен 16.5 метров.