Question

Пожалуйста! Помогите! Последние баллы!Решить дифференциальное уравнение:y'=2yx-x

Answer 1

Ответ: $\[y = x^2 (y - 0,5) + C\]$

Пошаговое объяснение: Перепишем уравнение в форме Лейбница, т.е. распишем производную как отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению переменной

$\[\frac{{dy}}{{dx}} = 2yx - x\]$

Умножим обе части уравнение на dx

$\[dy = \left[ {2yx - x} \right]dx\]$

Остается лишь проинтегрировать обе части выражения

$\[y = \int {\left[ {2yx - x} \right]dx} = yx^2 - \frac{{x^2 }}{2} + C = x^2 (y - 0,5) + C\]$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение. Давайте начнем!

Дано дифференциальное уравнение: y' = 2yx - x

Это уравнение можно решить методом разделяющихся переменных. Давайте перепишем уравнение так, чтобы все y-связанные термины были на одной стороне, а x-связанные на другой: y' - 2yx = -x

Теперь давайте попробуем выразить разделяющиеся переменные, чтобы проинтегрировать обе стороны уравнения отдельно. Для этого мы поделим обе стороны на (2y - 1) и умножим на dx: (y' - 2yx) / (2y - 1) = -x / (2y - 1) dx

Следующий шаг - проинтегрировать обе стороны уравнения. Однако интегрирование левой стороны потребует некоторых дополнительных шагов. Введем новую переменную u = 2y - 1, тогда du/dx = 2y' и выражение станет: (1/2) * (du/dx) / u = -x / u dx

Теперь интегрируем обе стороны: ∫ (1/2) * (1/u) du = ∫ -x dx

(1/2) * ln|u| = -x^2 / 2 + C₁

Теперь подставим обратно u = 2y - 1: (1/2) * ln|2y - 1| = -x^2 / 2 + C₁

Теперь выразим y: ln|2y - 1| = -x^2 + C₂

Используем свойство логарифма для избавления от модуля: 2y - 1 = ±e^(C₂) * e^(-x^2)

Также можем объединить ±e^(C₂) в константу C: 2y - 1 = Ce^(-x^2)

Теперь выразим y: 2y = Ce^(-x^2) + 1

y = (Ce^(-x^2) + 1) / 2

Вот и получился общий вид решения дифференциального уравнения: y(x) = (Ce^(-x^2) + 1) / 2

где C - произвольная постоянная.