Question

Найдите первообразную функцию f(x)=5x + 7 график который проходит через точку(-2;4)

Answer 1

Найдем уравнение первообразной для функции $f(x)$:

$F(x)=\dfrac{5x^2}{2} + 7x+C$

Теперь заметим, что если в получившуюся функцию подставить $x=-2$, то получится $F(x)=4$ (это выходит из того, что точка $(-2;4)$ принадлежит графику первообразной).

Таким образом, мы можем найти $C$ (константу):

$\displaystyle \frac{5 \cdot (-2)^2}{2} + 7 \cdot (-2) + C = 4\\\\-4+C=4\\\\C=8$

На всякий случай прикрепляю график с самой функцией (выделено синим) и ее первообразной (выделено красным).

Первообразная функция найдена:

$\large{\boxed { F(x) = \dfrac{5x^2}{2} + 7x+8 }$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функцию $f(x) = 5x + 7$, мы должны интегрировать это выражение относительно $x$. Общий метод для нахождения первообразной $F(x)$ функции $f(x)$ заключается в интегрировании каждого члена выражения по отдельности.

Итак, интегрируем каждый член:

$\int (5x + 7) \, dx = \frac{5}{2}x^2 + 7x + C$

Здесь $C$ - это константа интегрирования.

Теперь у нас есть первообразная функция $F(x) = \frac{5}{2}x^2 + 7x + C$.

Чтобы найти значение константы $C$, используем информацию о точке, через которую проходит график. Мы знаем, что график проходит через точку $(-2, 4)$. Подставляем это значение в уравнение функции:

$F(-2) = \frac{5}{2}(-2)^2 + 7(-2) + C = 4$

$\frac{20}{2} - 14 + C = 4$

$10 - 14 + C = 4$

$-4 + C = 4$

$C = 4 + 4 = 8$

Таким образом, значение константы $C$ равно 8.

Итак, первообразная функция $f(x) = 5x + 7$, проходящая через точку $(-2, 4)$, имеет вид:

$F(x) = \frac{5}{2}x^2 + 7x + 8$