Question

Образующая конуса равна 8 см. В осевом сечении угол между образующими равен 60. Найти радиус основания и высоту конуса

Answer 1

Ответ:

4 см;  4√3 см

Пошаговое объяснение:

Имеем равнобедренный треугольник АВС, где ∠В=60,  по условию.

Проведем высоту ВН, тогда ∠СВН=30°, т.к. высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

Рассмотрим ΔСВН - прямоугольный, ВС=8 см, ∠СВН=30°, значит СН=4 см, т.к. катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Найдем ВН по теореме Пифагора

ВН=√(ВС²-СН²)=√(64-16)=√48=4√3 см

Answer 2

Обозначим радиус основания конуса как R и его высоту как h.

Известно, что образующая (l) конуса равна 8 см. Из геометрических свойств конуса и осевого сечения известно, что можно получить прямоугольный треугольник, где один катет равен половине образующей, другой катет - радиусу основания, а гипотенуза - высоте конуса.

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:

1. Половина образующей = l/2 = 8/2 = 4 см
2. Радиус основания = R
3. Высота конуса = h

В прямоугольном треугольнике: (Половина образующей)^2 + (Радиус основания)^2 = (Высота конуса)^2

Подставляем известные значения и находим радиус основания и высоту конуса:

4^2 + R^2 = h^2 16 + R^2 = h^2

Также нам дано, что угол между образующими (угол между полупрямыми, исходящими из вершины конуса) равен 60 градусов. Это означает, что мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты конуса через радиус основания и угол между образующей и основанием.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник с углом 60 градусов, то тангенс этого угла будет равен отношению противолежащего катета (Радиус основания) к прилежащему катету (Половина образующей):

tan(60°) = R / (4)

√3 = R / 4

R = 4√3 см

Теперь мы можем подставить значение R в уравнение высоты:

16 + (4√3)^2 = h^2 16 + 48 = h^2 64 = h^2

h = √64 = 8 см

Итак, радиус основания конуса равен 4√3 см, а высота конуса равна 8 см.