Question

Найти екстремум функции f(x;y)=x^3-y^2+2xy-6x-2y

Answer 1

Ответ:

$f(x,y) = x^{3} - y^{2} + 2xy - 6x - 2y$

Найдём частные производные

по x' = $3x^{2} + 2y -6$

по y' = $2x-2y-2$

Решим систему уравнений.

$3x^{2} + 2y -6$ = 0;

$2x-2y-2$ = 0;

Получаем: x₁ = -2; x₂ = 4/3

                   y₁ = -3; y₂ = 1/3

Количество критических точек равно 2.

M₁(-2;-3), M₂(4/3;1/3)

Найдем частные производные второго порядка

по x'' = 6x

по y'' = -2

по xy''= 2

Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).

Вычисляем значения для точки M₁(-2;-3)

A = по x'' = -12

B = по xy'' = 2

C = по y'' = -2

AC - B² = 20 > 0 и A < 0 , то в точке M₁(-2;-3) имеется максимум z(-2;-3) = 13

Вычисляем значения для точки M₂(4/3;1/3)

A = по x'' = 8

B = по xy'' = 2

C = по y'' = -2

AC - B² = -20 < 0, то глобального экстремума нет

Ответ: в точке M₁(-2;-3) max = 13.

фуууххх вроде бы как-то так)

Answer 2

Для того чтобы найти экстремумы функции f(x, y) = x^3 - y^2 + 2xy - 6x - 2y, нужно найти точки, в которых частные производные обеих переменных равны нулю:

1. Найдем частные производные по x и y: ∂f/∂x = 3x^2 + 2y - 6 ∂f/∂y = -2y + 2x - 2

2. Решим систему уравнений, приравняв обе частные производные к нулю: 3x^2 + 2y - 6 = 0 (1) -2y + 2x - 2 = 0 (2)

3. Решим второе уравнение (2) относительно y: -2y = -2x + 2 y = x - 1

4. Подставим выражение для y из шага 3 в уравнение (1): 3x^2 + 2(x - 1) - 6 = 0 3x^2 + 2x - 2 - 6 = 0 3x^2 + 2x - 8 = 0

5. Решим квадратное уравнение для x: 3x^2 + 2x - 8 = 0 (3x - 4)(x + 2) = 0

   Отсюда получаем два возможных значения x: x = 4/3 и x = -2.

6. Подставим найденные значения x в уравнение для y (из шага 3): Если x = 4/3, то y = 4/3 - 1 = 1/3. Если x = -2, то y = -2 - 1 = -3.

Итак, у нас есть две точки, где частные производные равны нулю: (4/3, 1/3) и (-2, -3). Теперь мы можем использовать вторую производную для анализа, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами.

7. Найдем вторые частные производные: ∂²f/∂x² = 6x ∂²f/∂y² = -2

8. Оценим вторые частные производные в найденных точках: В точке (4/3, 1/3): ∂²f/∂x² = 6 * 4/3 = 8 > 0 ∂²f/∂y² = -2 < 0

   В точке (-2, -3): ∂²f/∂x² = 6 * -2 = -12 < 0 ∂²f/∂y² = -2 < 0

9. По теореме о вторых производных:

   • Если ∂²f/∂x² > 0 и ∂²f/∂y² < 0, то у нас есть локальный минимум.
   • Если ∂²f/∂x² < 0 и ∂²f/∂y² > 0, то у нас есть локальный максимум.

Исходя из анализа вторых частных производных, точка (4/3, 1/3) представляет собой локальный минимум, а точка (-2, -3) - локальный максимум функции f(x, y).