Question

!!!Найдите первообразную функции f(x) = 20x^3 − 3x^2 + 6 график которой проходит через точку M(3; 4)

Answer 1

$f(x)=20x^{3}-3x^{2}+6\\\\F(x)=20*\frac{x^{4}}{4}-3*\frac{x^{3}}{3}+6x+C\\\\F(x)=5x^{4}-x^{3} +6x+C\\\\M(3;4)\\\\4=5*(3)^{4}-3^{3}+6*3+C\\\\4=405-27+18+C\\\\4=396+C\\\\C=-392\\\\F(x)=5x^{4}-x^{3}+6x-392$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 20x^3 - 3x^2 + 6$, мы должны найти такую функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$.

Давайте найдем первообразную путем интегрирования по частям. Первообразная будет иметь вид: $F(x) = \int (20x^3 - 3x^2 + 6) \, dx$

Интегрируя по частям, используя $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, где $u = 20x^3$, $dv = dx$, мы получаем: $F(x) = 5x^4 - x^3 + 6x + C$

Теперь у нас есть общее решение для первообразной $F(x)$. Чтобы найти значение константы $C$, которая учитывает произвольную постоянную, мы можем использовать условие, что график проходит через точку $M(3, 4)$. Подставляя значения $x = 3$ и $F(3) = 4$ в уравнение, мы можем решить уравнение относительно $C$: $F(3) = 5(3)^4 - (3)^3 + 6(3) + C = 4$ $405 - 27 + 18 + C = 4$ $C = -405 + 27 - 18 + 4$ $C = -392$

Итак, окончательная первообразная функции $f(x) = 20x^3 - 3x^2 + 6$, проходящей через точку $M(3, 4)$, будет: $F(x) = 5x^4 - x^3 + 6x - 392$