Question

Решите неравенство: log x^2(2x+3)<=1

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

$\log{x^2(2x+3)} \leq 1$

Для начала, давайте избавимся от логарифма, применив экспоненциальную функцию обеим сторонам:

$x^2(2x+3) \leq 10$

Раскроем скобку:

$2x^3 + 3x^2 \leq 10$

Теперь приведем всё к одной стороне:

$2x^3 + 3x^2 - 10 \leq 0$

Это кубическое неравенство. Мы можем попробовать найти корни и знаки внутри интервалов между корнями для определения знака выражения.

Для начала найдем корни:

$2x^3 + 3x^2 - 10 = 0$

Мы можем попробовать найти рациональные корни с помощью рационального корневого теоремы или воспользоваться численными методами. Пусть $x = -1$ — это один из корней.

Поделим многочлен на $x + 1$:

$\frac{2x^3 + 3x^2 - 10}{x + 1} = 2x^2 - x + 10$

Этот квадратный многочлен не имеет действительных корней.

Таким образом, многочлен $2x^3 + 3x^2 - 10$ положителен на интервале $(- \infty, -1)$ и отрицателен на интервале $(-1, +\infty)$. Поскольку неравенство ведет к $2x^3 + 3x^2 - 10 \leq 0$, то его можно удовлетворить только на интервале $[-1, x_0]$, где $x_0$ — корень уравнения $2x^3 + 3x^2 - 10 = 0$, то есть $x_0$ примерно равен $2.047$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1, 2.047]$.