Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку:у"-2у'+15у=0

Answer 1

Составим характеристическое уравнение:

k²-2k+15=0

D=4–4×15=-56

k=(-2-(2√-14))/2

k=√-14; k=14i.

Answer 2

Диференціальне рівняння другого порядку, яке ви надали, має вигляд:

у" - 2у' + 15у = 0.

Для знаходження загального розв'язку цього рівняння, спробуємо знайти характеристичне рівняння, що відповідає йому. Замінимо похідні у зі змінними s:

с^2 - 2cs + 15 = 0,

де c = s^2. Тепер маємо квадратне рівняння відносно s:

s^2 - 2s + 15 = 0.

Це рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня або квадратного завершення.

s = (2 ± √(4 - 4*15)) / 2 s = (2 ± √(-56)) / 2 s = 1 ± √14 * i.

Отже, характеристичне рівняння має комплексні корені:

s1 = 1 + √14 * i, s2 = 1 - √14 * i.

Оскільки у характеристичного рівняння є комплексні корені, загальний розв'язок диференціального рівняння буде мати наступний вигляд:

у(t) = e^(at) * (c1 * cos(bt) + c2 * sin(bt)),

де a = Re(s1) = 1, b = Im(s1) = √14, c1 і c2 - довільні константи.

Отже, загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку у"-2у'+15у=0 є:

у(t) = e^t * (c1 * cos(√14 * t) + c2 * sin(√14 * t)).