Question

Решить интеграл (1+ln^4(2x+1))/(2x+1)

Answer 1

Ответ:

=================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного интеграла, вы можете использовать метод частей. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$

В данном случае, можно выбрать: $u = \ln^4(2x + 1) \quad \text{и} \quad dv = \frac{1}{2x + 1} \, dx.$

Тогда, вычислим производные и интегралы: $du = 4 \ln^3(2x + 1) \cdot \frac{2}{2x + 1} \, dx = \frac{8 \ln^3(2x + 1)}{2x + 1} \, dx$ $v = \int dv = \int \frac{1}{2x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln|2x + 1|.$

Подставив значения в формулу интегрирования по частям, получим: $\int \frac{1 + \ln^4(2x + 1)}{2x + 1} \, dx = \ln^4(2x + 1) \cdot \frac{1}{2} \ln|2x + 1| - \int \frac{8 \ln^3(2x + 1)}{2x + 1} \cdot \frac{1}{2} \ln|2x + 1| \, dx.$

Упростим выражение: $\int \frac{1 + \ln^4(2x + 1)}{2x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln^4(2x + 1) \ln|2x + 1| - 4 \int \frac{\ln^3(2x + 1)}{2x + 1} \cdot \ln|2x + 1| \, dx.$

Теперь у нас остался интеграл, который также можно решить методом интегрирования по частям. Выберем: $u = \ln^3(2x + 1) \quad \text{и} \quad dv = \frac{\ln|2x + 1|}{2x + 1} \, dx.$

Производные и интегралы: $du = 3 \ln^2(2x + 1) \cdot \frac{2}{2x + 1} \, dx = \frac{6 \ln^2(2x + 1)}{2x + 1} \, dx$ $v = \int dv = \int \frac{\ln|2x + 1|}{2x + 1} \, dx.$

Применяем формулу интегрирования по частям снова: $4 \int \frac{\ln^3(2x + 1)}{2x + 1} \cdot \ln|2x + 1| \, dx = 4 \ln^3(2x + 1) \cdot \frac{1}{2} \ln|2x + 1| - 6 \int \frac{\ln^2(2x + 1)}{2x + 1} \cdot \frac{1}{2} \ln|2x + 1| \, dx.$

Мы продолжаем уменьшать степень логарифма в интеграле. В конечном итоге, после нескольких итераций, получится интеграл, который можно решить простыми методами.