Question

Решить уравнение: sin2x + 2 sinx = cosx + 1

Answer 1

Ответ: x=п/6 + 2пn n ∈Z, x=п +2пn n ∈Z,

x=5п/6 + 2пn n ∈Z

Пошаговое объяснениt

sin2x + 2sinx = cosx +1

2sinxcosx +2sinx-cosx-1=0

2sinx(cosx + 1) -1 (cosx+1)=0

(2sinx-1)(cosx+1)=0

2sinx-1 = 0 или cosx+1=0

sinx=1/2 или cosx=-1

x=п/6 + 2пn n ∈Z или x=п +2пn n ∈Z

x=5п/6 + 2пn n ∈Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

sin(2x) + 2sin(x) = cos(x) + 1

Сначала попробуем выразить cos(x) через sin(x), используя тождество:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Отсюда следует, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x), и, следовательно, cos(x) = ±sqrt(1 - sin^2(x)).

Теперь подставим это выражение для cos(x) в исходное уравнение:

sin(2x) + 2sin(x) = ±sqrt(1 - sin^2(x)) + 1

Далее, введем замену: пусть u = sin(x), тогда у нас будет:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2ucos(x)

И уравнение примет вид:

2u + 2u^2 = ±sqrt(1 - u^2) + 1

Попробуем решить это уравнение для u.

1. Рассмотрим плюсовый вариант:

2u + 2u^2 = sqrt(1 - u^2) + 1

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2u + 2u^2)^2 = (sqrt(1 - u^2) + 1)^2

Упростим:

4u^2 + 8u^3 + 4u^4 = 1 - u^2 + 2u - u^2 + 1

Соберем все слагаемые:

4u^4 + 8u^3 + 5u^2 - 2u = 0

Попробуем упростить это уравнение, разделив все слагаемые на u:

4u^3 + 8u^2 + 5u - 2 = 0

К сожалению, это уравнение не имеет аналитических корней, которые можно выразить в виде конкретных чисел. Мы можем только приближенно найти корни с помощью численных методов.

2. Рассмотрим минусовый вариант:

2u + 2u^2 = -sqrt(1 - u^2) + 1

Аналогично, возводим обе стороны в квадрат:

(2u + 2u^2)^2 = (-sqrt(1 - u^2) + 1)^2

Упростим:

4u^2 + 8u^3 + 4u^4 = 1 - u^2 - 2u + u^2 + 1

4u^4 + 8u^3 + 5u^2 + 2u - 2 = 0

Подобно предыдущему случаю, это уравнение также не имеет аналитических корней, и требует численных методов для приближенного решения.

Итак, уравнение sin(2x) + 2sin(x) = cos(x) + 1 не имеет аналитических решений в терминах конкретных чисел.