Question

Z=4-x^2-y^2 Y=+-2 X=+-2 Z=0 Найти объём тела ограниченного поверхностью

Answer 1

Ответ:

V=64

Пошаговое объяснение:

для того чтобы найти обьем данного тела нужно сначала найти z. Подставляем х и у в уравнение z, находим z. В нашем случае оно равно 4. Теперь рисуем график. В графике мы видем что это является кубом. Применяем формулу объема куба и находим : V=a³=4³=64

Answer 2

Для того чтобы найти объём тела, ограниченного заданной поверхностью, нужно воспользоваться методом двойных интегралов. Первым шагом является построение проекции данной поверхности на плоскость XY.

Исходные уравнения поверхности:

1. $Z = 4 - x^2 - y^2$
2. $Y = \pm 2$
3. $X = \pm 2$
4. $Z = 0$

Проекция данной поверхности на плоскость XY:

• Верхняя полусфера: $Z = 4 - x^2 - y^2$, ограниченная внизу плоскостью $Z = 0$.
• Верхняя плоскость: $Y = 2$, ограниченная снизу плоскостью $Z = 0$.
• Нижняя плоскость: $Y = -2$, ограниченная снизу плоскостью $Z = 0$.
• Левая плоскость: $X = -2$, ограниченная справа плоскостью $Z = 0$.
• Правая плоскость: $X = 2$, ограниченная слева плоскостью $Z = 0$.

Теперь, чтобы найти объём тела, ограниченного этой поверхностью, можно воспользоваться двойным интегралом:

$V = \iint_D (4 - x^2 - y^2) \, dA$

где D - проекция поверхности на плоскость XY. Так как проекция D представляет собой круг радиуса 2 (ограниченный плоскостями $X = \pm 2$ и $Y = \pm 2$), интеграл можно записать в полярных координатах:

$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) \cdot r \, dr \, d\theta$

Выполняя интегрирование, получим:

$V = \int_0^{2\pi} \left[\frac{4}{3} r^3 - \frac{r^5}{5}\right]_0^2 \, d\theta = \int_0^{2\pi} \left(\frac{32}{3} - \frac{32}{5}\right) \, d\theta = \frac{64}{15} \cdot 2\pi = \frac{128}{15}\pi$

Таким образом, объём тела, ограниченного данной поверхностью, составляет $\frac{128}{15}\pi$ кубических единиц.