Question

тіло рухається зі швидкістю v(t)=4(t-3)3+3 (м/с). знайдіть шлях пройдений тілом за проміжуток часу від t=3+1 (с) до t=3+2(с)​

Answer 1

S = t2 • v(t2)=4(t2-3)3+3 - t1 • (v(1t)=4(t1-3)3+3) =
= (3+2)•4((3+2)-3)•3 +3 - ((3+1)•4((3+1)-3)•3 +3) =
= 5•4•2•3 + 3 - (4•4•1•3 +3) = 120+3 - (48+3) =
= 120 +3 - 48 - 3 = 120 - 48 = 72 м - путь, пройденный телом за заданный промежуток времени.

Answer 2

Щоб знайти шлях, пройдений тілом за певний проміжок часу, потрібно інтегрувати функцію швидкості від початкового часу до кінцевого часу.

У вас дана функція швидкості: $v(t) = 4(t - 3)^3 + 3$ м/с.

Інтегруємо функцію швидкості за вказаними межами часу (від $t = 3 + 1$ с до $t = 3 + 2$ с):

$$\begin{align*} s(t) &= \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt \\ &= \int_{3 + 1}^{3 + 2} (4(t - 3)^3 + 3) \, dt \\ &= \left[ \frac{1}{4}(t - 3)^4 + 3t \right]_{3 + 1}^{3 + 2} \\ &= \left( \frac{1}{4}(3 + 2 - 3)^4 + 3(3 + 2) \right) - \left( \frac{1}{4}(3 + 1 - 3)^4 + 3(3 + 1) \right) \\ &= \left( \frac{1}{4} \cdot 1^4 + 15 \right) - \left( \frac{1}{4} \cdot 0^4 + 12 \right) \\ &= \frac{1}{4} + 15 - 12 \\ &= \frac{1}{4} + 3 \\ &= \frac{13}{4} \, \text{м}. \end{align*}$$

Отже, тіло пройшло $\frac{13}{4}$ метра за вказаний проміжок часу.