Question

Найдите все первообразные для функции: f (x) = 5 – cos2x.

Answer 1

$\displaystyle\\f(x)=5-\cos(2x)\\\\F(x)=5x-\frac{\sin(2x)}{2}+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5 - \cos(2x)$, мы будем интегрировать по частям, используя тригонометрические тождества. Первообразная $F(x)$ будет иметь вид:

$F(x) = \int (5 - \cos(2x)) \, dx$

Применяем интегрирование по частям:

$u = 5 - \cos(2x), \quad dv = dx$ $du = 2\sin(2x) \, dx, \quad v = x$

Используем формулу интегрирования по частям:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Подставляем значения $u$, $du$, $v$ и интегрируем:

$F(x) = (5 - \cos(2x)) \cdot x - \int x \cdot 2\sin(2x) \, dx$

$F(x) = 5x - x\cos(2x) - 2 \int x\sin(2x) \, dx$

Интегрируем последний интеграл снова по частям:

$u = x, \quad dv = 2\sin(2x) \, dx$ $du = dx, \quad v = -\cos(2x)$

Применяем формулу интегрирования по частям:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Подставляем значения $u$, $dv$, $du$, $v$ и интегрируем:

$F(x) = 5x - x\cos(2x) - 2 \left( -x\cos(2x) - \int -\cos(2x) \, dx \right)$

$F(x) = 5x - x\cos(2x) + 2x\cos(2x) + 2 \int \cos(2x) \, dx$

$F(x) = 5x + x\cos(2x) + 2\int \cos(2x) \, dx$

$F(x) = 5x + x\cos(2x) + \sin(2x) + C$

Где $C$ - произвольная постоянная. Таким образом, первообразная для $f(x) = 5 - \cos(2x)$ равна:

$F(x) = 5x + x\cos(2x) + \sin(2x) + C$